2017年4月7日 星期五

小o符號的使用

小o符號在計算函數極限和闡述微分定義時非常的有用。對於極限理論來講,它並沒有帶來新的思想,但是符號的使用非常便利,可以造成思考上的省力效果,對於各種極限運算也可以透過小o,在形式上完全變成代數運算。小o可以說是偷渡"無窮小"的數到標準分析學裏的一個辦法。不用學習非標準分析繁重的邏輯就能夠享受非標準分析的好處。


小o的定義:
`f` 和 `g`是兩個函數,假如在某一極限過程中,`f/g rarr 0` ,就記為`f = o(g)`
,這裏的`=`,實際上是"屬於"的意思。所以`o(g)`代表的是一類的函數,我們不在乎究竟是哪一個函數,只需要知道它是那一類函數,這可以帶來很大的方便。

幾個細節:
1. 我們通常規定 `f = o(x)` 當中的極限過程是 `x rarr 0`,
`f = o((x-a)^b)` 當中的極限過程是 ` x rarr a`,所以在這種場合省略極限過程不寫。

2. `f = o(g)` 、 `f = o(|g|)`和`|f| = o(|g|)` 意思完全相同。
例如 `|f| = o(|g|) hArr |f/g| rarr 0 `
`hArr AA epsilon > 0 ,EE delta > 0 quad s.t.  ||f/g| - 0| = |f/g| < epsilon if |x| < delta` 
`hArr f/g rarr 0 hArr f = o(g)`
如果我們把 `||` 定義為歐氏空間的norm,小o符號甚至可以用在多元向量函數,
形式完全一樣。

3. `o(1)` 就是偷渡過來的無窮小。
`f = o(g) hArr f = g*o(1)`
`f rarr a hArr f = a + o(1)`,`a` 為常數。

小o如何使用:
需要加減乘除,冪指函數和複合,和泰勒展式。
泰勒展式等於是微積分的九九乘法,不記起來等於什麼題目也做不出來。

1. `o(x) +-* o(x) = o(x)`

2.  小o出現在分母怎麼辦:
`1/(a+bx+cx^2+o(x^2)) = (a+bx+cx^2+o(x^2))^-1`,用二項式定理
化成`(1+x)^-1`的形式展開。

3.  小o括弧裏面又有小o怎麼辦 :
`f=o(g)`,`g` 是 `h`的同階或更高階的無窮小,則 `f=o(h)`,因為
`f/h = f/g * g/h rarr 0 *` (有界或`0`) `= 0`
例如 `f=o(o((x-a)^2)) rArr f=o((x-a)^2)`
`f = o(ax^2 + o(x^2)) rArr f=o(x^2)`

4. 小o是指數怎麼辦:
`f^g = e^(g*ln(f))`,然後按照`e^x = 1+ x + 1/(2!) x^2 + o(x^2)`展開

5. 小o出現在根號裏面怎麼辦:
仿照2.,化成`(1+x)^alpha ` 用二項式定理展開

6.  小o在超越函數裏面怎麼辦:
用帶小o餘項的泰勒展式展開

小o用法終於講完。比小o更強的還有大O,以後再介紹。有很多高深的數學定理就是用大O寫的。