兩個方法求冪次和公式

以$1^2+2^2+3^2+...+n^2$為例。更高次仿此可得。

方法一：牛頓差分法

首先我們需要一個數列，這個數列的每一項都是冪次和。 注意必須從零開始，因為我們要用的公式是差分版的麥克勞林級數：

假定數列是$F(0),F(1),F(2),...$

$$\begin{multline*} F(n)=F(0)+\Delta F(0)n+\frac{1}{2!}\Delta^2F(0)n(n-1)+\frac{1}{3!}\Delta^3F(0)n(n-1)(n-2) \\ +\cdots+\frac{1}{r!}\Delta^rF(0)n(n-1)(n-2)...(n-r+1)+\cdots \end{multline*}$$