2017年4月7日 星期五

小o符號的使用

小o符號在計算函數極限和闡述微分定義時非常的有用。對於極限理論來講,它並沒有帶來新的思想,但是符號的使用非常便利,可以造成思考上的省力效果,對於各種極限運算也可以透過小o,在形式上完全變成代數運算。小o可以說是偷渡"無窮小"的數到標準分析學裏的一個辦法。不用學習非標準分析繁重的邏輯就能夠享受非標準分析的好處。


小o的定義:
`f` 和 `g`是兩個函數,假如在某一極限過程中,`f/g rarr 0` ,就記為`f = o(g)`
,這裏的`=`,實際上是"屬於"的意思。所以`o(g)`代表的是一類的函數,我們不在乎究竟是哪一個函數,只需要知道它是那一類函數,這可以帶來很大的方便。

幾個細節:
1. 我們通常規定 `f = o(x)` 當中的極限過程是 `x rarr 0`,
`f = o((x-a)^b)` 當中的極限過程是 ` x rarr a`,所以在這種場合省略極限過程不寫。

2. `f = o(g)` 、 `f = o(|g|)`和`|f| = o(|g|)` 意思完全相同。
例如 `|f| = o(|g|) hArr |f/g| rarr 0 `
`hArr AA epsilon > 0 ,EE delta > 0 quad s.t.  ||f/g| - 0| = |f/g| < epsilon if |x| < delta` 
`hArr f/g rarr 0 hArr f = o(g)`
如果我們把 `||` 定義為歐氏空間的norm,小o符號甚至可以用在多元向量函數,
形式完全一樣。

3. `o(1)` 就是偷渡過來的無窮小。
`f = o(g) hArr f = g*o(1)`
`f rarr a hArr f = a + o(1)`,`a` 為常數。

小o如何使用:
需要加減乘除,冪指函數和複合,和泰勒展式。
泰勒展式等於是微積分的九九乘法,不記起來等於什麼題目也做不出來。

1. `o(x) +-* o(x) = o(x)`

2.  小o出現在分母怎麼辦:
`1/(a+bx+cx^2+o(x^2)) = (a+bx+cx^2+o(x^2))^-1`,用二項式定理
化成`(1+x)^-1`的形式展開。

3.  小o括弧裏面又有小o怎麼辦 :
`f=o(g)`,`g` 是 `h`的同階或更高階的無窮小,則 `f=o(h)`,因為
`f/h = f/g * g/h rarr 0 *` (有界或`0`) `= 0`
例如 `f=o(o((x-a)^2)) rArr f=o((x-a)^2)`
`f = o(ax^2 + o(x^2)) rArr f=o(x^2)`

4. 小o是指數怎麼辦:
`f^g = e^(g*ln(f))`,然後按照`e^x = 1+ x + 1/(2!) x^2 + o(x^2)`展開

5. 小o出現在根號裏面怎麼辦:
仿照2.,化成`(1+x)^alpha ` 用二項式定理展開

6.  小o在超越函數裏面怎麼辦:
用帶小o餘項的泰勒展式展開

小o用法終於講完。比小o更強的還有大O,以後再介紹。有很多高深的數學定理就是用大O寫的。

2017年1月19日 星期四

微分形式的不變性

微分的定義是這樣的
`(1)        df=f'(x)dx`
高階微分的定義
`(1a)      d^nf=f^((n))(x)dx^n`

這個式子的由來是因為我們把`dx`當成固定的,它不是`x`的函數,所以`d(dx)=0`,但是`f'(x)`是`x`的函數,因此
`d^2f=d(df)=d(f'(x)dx)=(f''(x)dx)dx+f'(x)d(dx)=f''(x)dx^2`

那麼微分形式的不變性是什麼意思呢?
假定`x`不是自變數,而是`t`的函數 :`x=varphi(t)`
那麼`df(x)`等於什麼?
我們可以按照定義
`(2)        df(x)=df(varphi(t))=f'(varphi(t))varphi'(t)dt`
或者我們可以這樣作
`(3)        df(x)=f'(x)dx=f'(varphi(t))dvarphi(t)=f'(varphi(t))varphi'(t)dt`
注意,這裡我們只是單純的把 `x=varphi(t)`代入第`(1)`式而已,這樣作居然也對,這就是微分形式的不變性。

 總結來說,我們要對一個複合函數作微分,看成是要作變數變換`x=varphi(t)`,`(2)`的作法是先代入再微分,`(3)`的作法是先微分再代入,「微分」和「代入」的次序是可交換的。但是高階微分就沒有這種性質了。其實不只一階微分,還有其他形式的微分具有微分不變性,比較進階此處暫時不提了。

帶參數積分的微分

`d/dy int_(v(y))^(u(y)) f(x,y) dx`
這式子要如何計算?
`設 int_v^u f(x,y) dx=I(u,v,y)`
`dI=(delI)/(delu) du + (delI)/(delv) dv + (delI)/(dely) dy`
`=f(u(y),y)u'(y)dy-f(v(y),y)v'(y)dy+ (int_v^u f'_y(x,y)dx) dy`
`(dI)/dy=f(u(y),y)u'(y)-f(v(y),y)v'(y)+int_v^u f'_y(x,y)dx`

證明要比這個麻煩,這樣只是方便記憶。

2017年1月14日 星期六

泰勒多項式的兩種餘項 (兼測試AsciiMath)

假設f(x)在[a, b]連續,在(a, b) n+1階可微,帶餘項的泰勒公式是這樣的:
` f(b) = sum_(k=1)^n f^((k))(a)/(k!) (b-a)^k+f^((n+1))(xi)/((n+1)!)(b-a)^(n+1) `

`f^((n+1))(xi)/((n+1)!)(b-a)^(n+1)`是最常見的餘項,叫做拉格朗日餘項。但是還有令一種餘項叫做積分餘項(還有第三種,暫時不提),這可以直接用分部積分推導,或是從拉格朗日餘項用積分中值公式推導。後一種方法簡單一點。

多加上一個條件,就是f(x)在(a, b)連續可微,就成立積分餘項
`(1/(n!))int_a^b f^((n+1))(x)(b-x)^n dx`

注意到(b-x)在 x屬於[a,b]時不變號,又發現
`(1/(n!))int_a^b (b-x)^n dx= (b-a)^(n+1)/((n+1)!)`,
之後套用積分中值公式就知道兩種餘項相等了。

2013年10月2日 星期三

日本數學家:伊滕清

原來伊滕清在2008年的時候過世了,阿彌陀佛。他應該是本世紀最出名的日本數學家。其實可以說是史上最出名的日本數學家,因為他創立了隨機微積分。

機率論其實很久以來不被認為是數學,因為裡面的一些概念沒有適當
的定義,簡單講就是沒能公理化,一直到俄國人kolmogov採用了測度論和勒貝格積分,才讓機率論正式成為了數學的一份子。另外,小夫也是著名的教育家,他寫的實變分析現在還暢銷中。

機率是什麼?機率就是發生的機會?這話講了等於沒講,以前的機率
論只能靠直覺行事,因此長久以來沒什麼進展,一直到確立了機率就是勒貝格測度,隨機變量就是可測函數,事件就是可測集合,接下來機率論才有快速的進展。大學部的機率課程大概都還是直覺行事,因為要到能夠學習"真"機率論,得累積一些內力才行。大陸好像把這個叫做高等機率,不過這樣會讓人家誤解機率論有分高等低等,說是"正式"機率論比較對。

2013年9月13日 星期五

精準預測

"精準預測"這本書比我想的還要好,不過那也可能是因為這本書跟我先前對信用評等的看法一樣,也就是說每款債券違約機率,其實並不是獨立的:而且這種錯誤到處都是,不只是評等而已,基本上人類對自己不知道,或無從計算的東西,都會視為是獨立的。但是實際上經常不是如此。5% 乘 5% 乘 5% 乘 5% 乘 5% 等於 0.0000003125,答案沒有錯,但是,假開賣勒。

不過,這樣我有可能犯了這本書提到的錯誤:因為這本書跟我的看法一樣,我就說他很好。

題外話:幫機率論公理化的數學家Kolomogrov(俄國人),曾說機率論在公理化之前,不能算是數學。機率論的公理化跟拓樸學有密不可分的關係(這又證實了我說俄國人拓樸學很好),如果對拓樸學沒有一點基本的認識,看所謂機率論會覺得像天書一樣。初等的機率論沒有這些深奧東西,但是因為什麼都靠直覺,所以很容易出現一些自己覺得理所當然的錯誤結論。以前的瑞士數學家歐拉(Euler)直覺很好,所以他的錯誤非常少,但是絕大部分的人(如果不是全部)都沒有像歐拉一樣的直覺。

另外特別介紹一個日本人"小島寬之",他是數學系畢業之後修習經濟的經濟學家,他在一本書裡有講解過所謂事前和事後機率,其中微妙的不同。個人覺得他講解的不錯。他也講過排列組合的計算,很多人會算錯,因為常常用一些自以為是的理由亂套公式(這跟本文第一段很類似...),這種時候,不如先拋棄那些公式,從頭一個一個的點數,很快就能明白錯在那裏了。

2013年8月17日 星期六

國語和粵語

http://www.youtube.com/watch?v=Zg3uys95o8w

國語版:原來是小李他媽的飛刀,真可惜
粵語版:原來係小你老母飛刀,真可惜 (粵語李你同音)
英文翻譯:oh, what a pity

我對粵語的興趣,其實只是因為想看懂周星馳的港式笑料...