量綱函數的形式

$f(\alpha x)=\varphi(\alpha)f(x)$，其中 $f$ 和 $\varphi$ 是可微函數。現在欲證明：$\varphi(\alpha)={\alpha}^{d}$。這裏的 $\varphi$ 就是大名鼎鼎的量綱函數，現在要證明它的形式只能是冪函數。

這裏我們還需要一個 Euler 齊次函數定理：
$$xf_x+yf_y+zf_z=nf(x,y,z)$$ 滿足此偏微分方程的 $f$ 一定是n次齊次函數：
$$f(tx,ty,tz)=t^nf(x,y,z)$$
現在證明開頭的量綱函數形式。 $$\begin{align*} f(\alpha x)=\varphi(\alpha)f(x) \tag{1}            \end{align*}$$ 令 $\alpha = 1$ 代入 $(1)$ 式可得 $\varphi(1)=1$。
令 $u=\alpha x$，$(1)$式對 $\alpha$ 微分： $$\begin{align*} f_u x &=\varphi '(\alpha)f(x) \\f_u \frac{u}{\alpha}&=\varphi '(\alpha)f(\frac{u}{\alpha}) \\ &=\varphi '(\alpha) \varphi(\frac{1}{\alpha})f(u)  \end{align*}$$ 令 $\alpha = 1$ 代入上式可得： $$\begin{align*} f_u u &= \varphi '(1)\varphi(1)f(u) \\ &=\varphi '(1)f(u)\end{align*}$$ 由 Euler 齊次函數定理可得 $$f(\alpha x)=\alpha^{\varphi '(1)}f(x)$$ 因此$\varphi(\alpha)=\alpha^d$。核查正確性，$\varphi ' (1)$ 確實等於 $d$。