一個高中分式的極值問題

 題目：$a, b > 0$，求 $(a^2+b^2+ab+1)/(a+b)$ 的最小值

這一題我用高中的不等式解法湊不出來，先用微積分解，至少答案百分百正確。
解法裏面也有一些 trick，不是單純的埋頭苦幹求微分，所以還是可以參考。
首先題目改寫成平常用的變數符號，就是求
$$f(x,y)=(x^2+y^2+xy+1)/(x+y) \tag{a}$$
的最小值，其中 $x,y>0$。

首先求 $f$ 對 $x$ 的偏微分 $f_x$
$$f_x=(x^2+2xy-1)/(x+y)^2$$
接下來求$f$ 對 $y$ 的偏微分 $f_y$就不用那麼麻煩了，因為 $f$ 本身是對稱式，只要把上式當中的 $x$ 和 $y$ 互換即可得到：
$$f_y=(y^2+2xy-1)/(x+y)^2$$
極值點 $f_x = 0$  所以
$$x^2+2xy-1=0\tag{1}$$
同理 $f_y = 0$  所以
$$y^2+2xy-1=0 \tag{2}$$
$(1)-(2)$
$$\begin{align*} x^2-y^2 &= 0 \\ (x+y)(x-y) &= 0 \end{align*}$$
因為 $x,y>0$所以 $x=y$。代入 $(1)$
$$x=y=\sqrt{1/3}$$
代入 $(a)$ 得到最小值：
$$(1/3+1/3+1/3+1)/(2\sqrt{1/3})=1/\sqrt{1/3}=\sqrt{3}$$