Euler的絕招

Euler 的絕招很多，介紹一個最有名的。

 

$$P(x)=1+Ax+Bx^2+Cx^3+\cdots=(1+\alpha_1x)(1+\alpha_2x)(1+\alpha_3x)\cdots$$

 

這式子有什麼大不了呢？根據Euler的看法，這式子延伸到無窮項也成立，$P(x)$不是多項式也成立。這就非常大不了了。兩邊取對數之後微分，可以得到

$$\frac{P'(x)}{P(x)} = \frac{\alpha_1}{1+\alpha_1x}+\frac{\alpha_2}{1+\alpha_2x}+\frac{\alpha_3}{1+\alpha_3x}+\cdots$$