Euler的絕招

Euler 的絕招很多，介紹一個最有名的。

 

$$P(x)=1+Ax+Bx^2+Cx^3+\cdots=(1+\alpha_1x)(1+\alpha_2x)(1+\alpha_3x)\cdots$$

 

這式子有什麼大不了呢？根據Euler的看法，這式子延伸到無窮項也成立，$P(x)$不是多項式也成立。這就非常大不了了。兩邊取對數之後微分，可以得到

$$\frac{P'(x)}{P(x)} = \frac{\alpha_1}{1+\alpha_1x}+\frac{\alpha_2}{1+\alpha_2x}+\frac{\alpha_3}{1+\alpha_3x}+\cdots$$

 

把等號右邊每一項都展開

$$
\begin{align*}
\frac{\alpha_1}{1+\alpha_1x}&=\alpha_1-\alpha_1^2x+\alpha_1^3x^2+\cdots+(-1)^{k-1}\alpha_1^kx^{k-1}+\cdots \\
\frac{\alpha_2}{1+\alpha_2x}&=\alpha_2-\alpha_2^2x+\alpha_2^3x^2+\cdots+(-1)^{k-1}\alpha_2^kx^{k-1}+\cdots \\
\frac{\alpha_3}{1+\alpha_3x}&=\alpha_3-\alpha_3^2x+\alpha_3^3x^2+\cdots+(-1)^{k-1}\alpha_3^kx^{k-1}+\cdots \\
&\vdots
\end{align*}
$$

因此

$$\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_k \alpha_k-(\sum_k\alpha_k^2)x+(\sum_k\alpha_k^3)x^2+...+(-1)^{r-1}(\sum_k \alpha_k^r)x^{r-1}+\cdots$$

把 $\frac{P'(x)}{P(x)}$ 展開，具體作法是把 $P(x)$ 和 $P'(x)$ 按照昇冪排列做長除法 (一般長除法都是按降冪排列的，但是這裡要昇冪排列才能得出無窮級數，這是微積分常用招式)，所得到的商當中$x$的各個冪次的係數就是$\alpha_k$的各個冪次和，只是要注意正負號交錯。

 

假如是求多項式$p(x)$的根的冪次和，要注意這裏的多項式$P(x)$的根是$-1/\alpha_k$，所以要先對$P(x)$做負根和倒根變換，之後再讓常數項為 $1$ 才行。 

多項式的根的冪次和感覺只是小題目，當然這絕招的應用不只這個，Euler本人就是用這一個絕招解決巴賽爾難題的。