Euler 的絕招很多,介紹一個最有名的。
P(x)=1+Ax+Bx2+Cx3+⋯=(1+α1x)(1+α2x)(1+α3x)⋯
這式子有什麼大不了呢?根據Euler的看法,這式子延伸到無窮項也成立,P(x)不是多項式也成立。這就非常大不了了。兩邊取對數之後微分,可以得到
把等號右邊每一項都展開
α11+α1x=α1−α21x+α31x2+⋯+(−1)k−1αk1xk−1+⋯α21+α2x=α2−α22x+α32x2+⋯+(−1)k−1αk2xk−1+⋯α31+α3x=α3−α23x+α33x2+⋯+(−1)k−1αk3xk−1+⋯⋮
因此
P′(x)P(x)=∑kαk−(∑kα2k)x+(∑kα3k)x2+...+(−1)r−1(∑kαrk)xr−1+⋯
把 P′(x)P(x) 展開,具體作法是把 P(x) 和 P′(x) 按照昇冪排列做長除法 (一般長除法都是按降冪排列的,但是這裡要昇冪排列才能得出無窮級數,這是微積分常用招式),所得到的商當中x的各個冪次的係數就是αk的各個冪次和,只是要注意正負號交錯。
假如是求多項式p(x)的根的冪次和,要注意這裏的多項式P(x)的根是−1/αk,所以要先對P(x)做負根和倒根變換,之後再讓常數項為 1 才行。
多項式的根的冪次和感覺只是小題目,當然這絕招的應用不只這個,Euler本人就是用這一個絕招解決巴賽爾難題的。
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