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2022年8月11日 星期四

Euler的絕招

Euler 的絕招很多,介紹一個最有名的。
 
P(x)=1+Ax+Bx2+Cx3+=(1+α1x)(1+α2x)(1+α3x)
 
這式子有什麼大不了呢?根據Euler的看法,這式子延伸到無窮項也成立,P(x)不是多項式也成立。這就非常大不了了。兩邊取對數之後微分,可以得到

P(x)P(x)=α11+α1x+α21+α2x+α31+α3x+
 
把等號右邊每一項都展開


α11+α1x=α1α21x+α31x2++(1)k1αk1xk1+α21+α2x=α2α22x+α32x2++(1)k1αk2xk1+α31+α3x=α3α23x+α33x2++(1)k1αk3xk1+
因此

P(x)P(x)=kαk(kα2k)x+(kα3k)x2+...+(1)r1(kαrk)xr1+

P(x)P(x) 展開,具體作法是把 P(x)P(x) 按照昇冪排列做長除法 (一般長除法都是按降冪排列的,但是這裡要昇冪排列才能得出無窮級數,這是微積分常用招式),所得到的商當中x的各個冪次的係數就是αk的各個冪次和,只是要注意正負號交錯。
 
假如是求多項式p(x)的根的冪次和,要注意這裏的多項式P(x)的根是1/αk,所以要先對P(x)做負根和倒根變換,之後再讓常數項為 1 才行。 

多項式的根的冪次和感覺只是小題目,當然這絕招的應用不只這個,Euler本人就是用這一個絕招解決巴賽爾難題的。

 

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