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2023年3月27日 星期一

座標變換後新的基向量如何導出

如果只是要答案,那很簡單,假設位置向量X
x=x(u,v,w)y=y(u,v,w)z=z(u,v,w),那麼新座標系(u,v,w)的基向量可以取為
g1=Xu, g2=Xv, g3=Xw這是未標準化的向量,物理上常常要取基向量的長度為1,那就把上述的向量除以各自的長度。

Courant的數學分析的第二卷第一分冊,練習3.6d就是在問如何導出新座標系的基向量,以及在新的基向量之下如何表示梯度。這是很有代表性的問題,因為這些問題通常是物理課本的內容,一般數學書不會提到,所以這本書把它放在練習題。題目如下:

在球座標系 x=ρsinϕcosθ, y=ρsinϕsinθ, z=ρcosϕ中,取三個單位向量u, v, w,它們的方向分別是ρ, ϕ, θ諸線的方向,試証:dX=(dx,dy,dz)=udρ+vρdϕ+wρsinϕdθ從而在球座標系中求出f(ρ,ϕ,θ)的表達式,其中 f 通過fdX=df來定義。

解答:
假如不要求基向量是單位向量,而是g1, g2, g3就好,那就簡單了。(dx,dy,dz)=g1dρ+g2dϕ+g3dθ,跟原本的Euclid座標形式完全一樣!因為
g1=(xρ,yρ,zρ)g2=(xϕ,yϕ,zϕ)g3=(xθ,yθ,zθ)縱向相加之後很明顯就只是(dx,dy,dz)的全微分公式而已,而g1的長度是1g2的長度是ρg3的長度是ρsinϕ,將它們的長度都化為1就是要求的u,v,w,因此(1)式成立。

(2)式是散度的一種定義,沒問題。df是與座標系無關的。為何呢?書中的解答是說因為微分形式的不變性,這是對的,可是既然都打算詳細的寫在這裡,我們就不厭其煩的展開來看:
f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))可以視為x,y,z的函數,也能視為u,v,w的函數。
df=fudu+fvdv+fwdwfu=fxxu+fyyu+fzzufv=fxxv+fyyv+fzzvfw=fxxw+fyyw+fzzw注意到我們又把(4a),(4b),(4c)縱向相加又得到x,y,z的全微分式!因此(4a),(4b),(4c)都代入(4)可以得到df=fudu+fvdv+fwdw=fxdx+fydy+fzdz,所以df與座標系無關。

假如在本題中的新座標系基向量我們用的是gi ,i=1,2,3 (下文中 i 都等於1,2,3),那就好辦了。f就是fρg1+fϕg2+fϕg3。因為{gi}彼此正交的關係,上式跟(3)內積很容易,等於df。現在要求基向量是u,v,u,這些跟相對應的gi只差了一個縮放因子,也就是各個gi的長度而已,這在上面已經算過。因此f=fρu+1ρfϕv+1ρsinϕfϕw

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