解偏微分方程的特徵曲線法(characteristic curve)

 在大學生數學競賽習題精講（第3版）的 4.2 節有如下題目： $$解偏微分方程\  y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0\ \tag{1}$$ 解法是設 $u=x,\ v=x^2+y^2$。這個解法挺無厘頭，因為等於是事先知道了答案再代回去。實際上解這類微分方程有標準方式，就是特徵曲線法，以下介紹，用的符號也改用一般講偏微分方程的書的符號。

如下的一階線性偏微分方程： $$\frac{\partial u}{\partial x}+p(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0$$ ，可以用特徵曲線法來解。首先來研究這個方程的幾何意義。這個方程可以改寫成 $$(1,\ p(x,y)) \cdot \nabla u=0$$ 也就是 $u$ 的梯度和沿著 $(1,\ p(x,y))$ 這個方向的內積等於零。多元微積分告訴我們這就是
$u$ 在 $(1, \ p(x,y))$ 這個方向的變化為零，或說是 $u$ 在這方向為定值。而 $(1, \ p(x,y))$ 就是 $dy/dx = p(x,y)$ 的解曲線的切線方向。我們把 $dy/dx = p(x,y)$ 的解曲線寫成這個形式：$\varphi(x,y)=C$ 。所以 $u$ 在 $\varphi(x,y)$ 這條曲線 (稱之為特徵曲線) 上為定值，也就是 $u$ 是 $\varphi$ 的函數，可以寫成 $u=f(\varphi(x,y))$ ，$f$ 為任意函數(當然要符合微分條件)，而這就是解了。

總結一下解法。首先解出： $$\frac{dy}{dx}=p(x,y)$$ 這個微分方程，解為 $\varphi(x,y)=C$ 。$u$ 的解就是： $$u = f(\varphi(x,y))$$

作為範例，我們試著來解 $(1)$ 式。將 $(1)$ 式改寫成 $$\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial y}=0$$ 所以特徵曲線的微分方程就是 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$ 此式可以用變數分離法解出 $$\varphi(x,y)=x^2+y^2=C$$ ，答案就是 $$z=f(x^2+y^2)$$ 。也因此我們可以發現變數代換 $v=x^2+y^2$ 本身就已經是答案了，所以用這種變數代換去解沒有意義。