其實座標變換後的梯度公式不是很重要(什麼！)，因為座標變換後的處理，可以直接使用拉格朗日力學(分析力學)，將新座標視為廣義座標。
這時我們就可以轉而在廣義力下工作，不用管狹義力(牛頓力學下的力)了。
採用分析力學的符號，廣義座標以$\ q\ $表示。眾所周知，狹義力就是勢函數梯度的負值，座標方向上的分量就是對於該座標的
偏微分。廣義力的定義類似，這裡用功函數($\ U\ $)來表示更容易，功函數就是勢函數的負值，廣義力的$\ q\ $分量就是功函數對
$\ q\ $的偏微分$\ U_q\ $。梯度就是功函數對應的狹義力。例如把座標轉換成球座標，那麼球座標當中的$\ \theta\ $對應的廣義力
就是$\ U_\theta\ $。廣義力其實就是推動廣義座標產生變化的「力」，只是廣義力的量綱跟狹義力不同，會隨著廣義座標的量綱而變化。
既然$\ U_\theta\ $是推動$\ \theta\ $變化的廣義力，以牛頓力學的觀點，$\ U_\theta\ $其實就是力矩。
在上述的觀點下，座標變換後的梯度可以直接「瞪」出答案。以球座標當例子，現在把$\ r,\ \theta,\ \phi\ $當成廣義座標。因為
我們要探討的是某一點上的力，所以我們只看無窮小的範圍 $\ {\delta}r,\ {\delta}\theta,\ \delta\phi\ $，上面提過一般的廣義座標
用$\ q\ $表示，因此：
$$沿\ q\ 方向上的功=U_q*\delta{q}=沿\ q\ 方向上的力*\delta{q}\ 的長度$$
所以$$沿\ q\ 方向上的力=\frac{U_q*\delta{q}}{|\delta{q}|}$$其中$\ |\delta{q}|\ $是$\ \delta{q}\ $的長度。
接下來可以直接瞪出答案了，$\ |\delta{r}|=\delta{r},\ |\delta\theta|=r\delta\theta,\ |\delta\phi|=r\sin\theta\delta\phi\ $,
這些只要畫出圖形應該很容易瞪出來。不過會這麼容易也有條件，就是新座標的三個座標線是正交的，也就是互相垂直，這樣
某座標的微小變化長度才不會跟其他座標的微小變化相關。以下把完整答案再列一遍，符號很直觀，就不予說明了：
$$U的梯度=U_r\hat{r}+U_\theta\frac{1}{r}\hat{\theta}+U_\phi\frac{1}{r\sin\theta}\hat{\phi}$$
