微分形式的不變性

微分的定義是這樣的
$$df=f'(x)dx\tag{1}$$
高階微分的定義
$$d^nf=f^{(n)}(x)dx^n\tag{1a}$$
這個式子的由來是因為我們把$dx$當成固定的，它不是$x$的函數，所以$d(dx)=0$，但是$f'(x)$是$x$的函數，因此

帶參數積分的微分

$$\frac{d}{dy} \int_{v(y)}^{u(y)} f(x,y) \, dx$$
這式子要如何計算？
$$\begin{align*}  設 \int_v^u f(x,y) \, dx&=I(u,v,y) \\   dI&=\frac{\partial I}{\partial u} du + \frac{\partial I}{\partial v} dv + \frac{\partial I}{\partial y} dy \\ &=f(u(y),y)u'(y)dy-f(v(y),y)v'(y)dy+ (\int_v^u f'_y(x,y) \, dx)\, dy  \\ \therefore \frac{dI}{dy} &= f(u(y),y)u'(y)-f(v(y),y)v'(y)+\int_v^u f'_y(x,y)\,dx \end{align*}$$
證明要比這個麻煩，這樣只是方便記憶。

泰勒多項式的兩種餘項

假設$f(x)$在$[a, b]$連續，在$(a, b)$ $n+1$階可微，帶餘項的泰勒公式是這樣的：
$f(b) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(a)/(k!) (b-a)^k+f^{(n+1)}(\xi)/((n+1)!)(b-a)^{n+1}$

$f^{(n+1)}(\xi)/((n+1)!)(b-a)^{n+1}$是最常見的餘項，叫做拉格朗日餘項。但是還有令一種餘項叫做積分餘項(還有第三種，暫時不提)，這可以直接用分部積分推導，或是從拉格朗日餘項用積分中值公式推導。後一種方法簡單一點。

多加上一個條件，就是$f(x)$在$(a, b)$連續可微，就成立積分餘項
$(1/n!)\int_a^b f^{(n+1)}(x)(b-x)^n \, dx$

注意到$(b-x)$在 $x$ 屬於$[a,b]$時不變號，又發現
$(1/n!)\int_a^b (b-x)^n \, dx= (b-a)^{n+1}/(n+1)!$，
之後套用積分中值公式就知道兩種餘項相等了。