微分形式的不變性

微分的定義是這樣的
$$df=f'(x)dx\tag{1}$$
高階微分的定義
$$d^nf=f^{(n)}(x)dx^n\tag{1a}$$
這個式子的由來是因為我們把$dx$當成固定的，它不是$x$的函數，所以$d(dx)=0$，但是$f'(x)$是$x$的函數，因此
$$d^2f=d(df)=d(f'(x)dx)=(f''(x)dx)dx+f'(x)d(dx)=f''(x)dx^2$$
那麼微分形式的不變性是什麼意思呢？
假定$x$不是自變數，而是$t$的函數 ：$x=\varphi(t)$那麼$df(x)$等於什麼？我們可以按照定義
$$df(x)=df(\varphi(t))=f'(\varphi(t))\varphi'(t)dt\tag{2}$$
或者我們可以這樣作
$$df(x)=f'(x)dx=f'(\varphi(t))d\varphi(t)=f'(\varphi(t))\varphi'(t)dt\tag{3}$$
注意，這裡我們只是單純的把$x=\varphi(t)$代入第$(1)$式而已，這樣作居然也對，這就是微分形式的不變性。

總結來說，我們要對一個複合函數作微分，看成是要作變數變換$x=\varphi(t)$，$(2)$的作法是先代入再微分，$(3)$的作法是先微分再代入，「微分」和「代入」的次序是可交換的。但是高階微分就沒有這種性質了。其實不只一階微分，還有其他形式的微分具有微分不變性，比較進階此處暫時不提了。