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2023年2月20日 星期一

測度論講義中的引理10.5.1的證明補充說明

書籍是測度論講義 (嚴加安著) 第三版。以下按照書中證明,只是難懂的部份加上補充以及錯誤的地方改正。 要證明的是

TFA(1)|F||T|1|F|=(|A||T|)!(|T|1)!|A|!     (10.5.2)

這裡假設 E={1,2,...n},AE,A,TA


其實這是為了導出Shapley值的引理。 記 |A|=a,|T|=t
T=A(10.5.2) 的和式只有單項,簡單成立。
TA,在 {F:TFA} 中,有 \binom{a-t}{k-t} 個不同子集F其元素個數等於k。

\begin{align*} \sum_{T \subset F \subset A}(-1)^{|F|-|T|}\frac{1}{|F|}  &= \sum_{k=t}^{a}\binom{a-t}{k-t}(-1)^{k-t} \frac{1}{k}=\sum_{j=0}^{a-t} \binom{a-t}{j}(-1)^j \frac{1}{j+t} \\ &=\sum_{j=0}^{a-t}\binom{a-t}{j}(-1)^j \int_0^1 x^{j+t-1}  \, dx \\ &=\int_0^1 \sum_{j=0}^{a-t}\binom{a-t}{j}(-1)^j x^{j+t-1} \, dx\\ &= \int_0^1 \sum_{j=0}^{a-t}\binom{a-t}{j}x^j (-1)^{a-t-j} x^{t-1} (-1)^{t-a+2j} \, dx \\ &\blacktriangleright因為 (-1)^{t-a+2j}=(-1)^{t-a}=(-1)^{a-t}\blacktriangleleft\\ &= \int_0^1 x^{t-1} (-1)^{a-t} \sum_{j=0}^{a-t}\binom{a-t}{j}x^j (-1)^{a-t-j} \, dx\\ &= \int_0^1 x^{t-1} (-1)^{a-t} (x-1)^{a-t}\, dx = \int_0^1 x^{t-1} (1-x)^{a-t}\, dx\\ &\blacktriangleright重複運用分部積分可得\blacktriangleleft\\ &=\frac{(a-t)!(t-1)!}{a!}\ \ \ \square\end{align*}

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