跟上一篇一樣是出自測度論講義(嚴加安著)第三版,這次書中的證明過程都沒錯了,只是有一個地方很難明白,所以補充說明。
定理如下:
設 μ 是 E (同上一篇)上的實值集函數,滿足四條公理(Shapley值必須符合的公理)的函數ϕ是唯一的,等於下式:
ϕi(μ)=∑T⊂Eγn(|T|)[μ(T)−μ(T∖{i})],i=1,⋯,nγn(|T|)=(n−|T|)!(|T|−1)!n!
,接下來直接跳到難懂之處,同時代入上一篇的(10.5.2)
∑T⊂E ∑T∪{i}⊂R⊂E(−1)|R|−|T|1|R|μ(T)=∑T⊂E,i∈Tγn(|T|)μ(T)−∑T⊂E,i∉Tγn(|T|+1)μ(T)
這是因為假設i∉T的話
∑T∪{i}⊂R⊂E(−1)|R|−|T|1|R|μ(T)=(−1)∑T∪{i}⊂R⊂E(−1)|R|−(|T|+1)1|R|μ(T)
右邊的式子才能代(10.5.2)。接著是
∑T⊂E,i∈Tγn(|T|)μ(T)−∑T⊂E,i∉Tγn(|T|+1)μ(T)=∑T⊂E,i∈Tγn(|T|)μ(T)+∑T⊂E,i∉Tγn(|T|)μ(T)−∑T⊂E,i∉Tγn(|T|)μ(T)−∑T⊂E,i∉Tγn(|T|+1)μ(T)=▸
之後便可接到結論。
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