$$\frac{d}{dy} \int_{v(y)}^{u(y)} f(x,y) \, dx$$
這式子要如何計算？
$$\begin{align*} 設 \int_v^u f(x,y) \, dx&=I(u,v,y) \\
dI&=\frac{\partial I}{\partial u} du + \frac{\partial I}{\partial v} dv + \frac{\partial I}{\partial y} dy \\
&=f(u(y),y)u'(y)dy-f(v(y),y)v'(y)dy+ (\int_v^u f'_y(x,y) \, dx)\, dy \\
\therefore \frac{dI}{dy} &= f(u(y),y)u'(y)-f(v(y),y)v'(y)+\int_v^u f'_y(x,y)\,dx
\end{align*} $$
證明要比這個麻煩，這樣只是方便記憶。
2017年1月14日 星期六
泰勒多項式的兩種餘項
假設$f(x)$在$[a, b]$連續，在$(a, b)$ $n+1$階可微，帶餘項的泰勒公式是這樣的：
$ f(b) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(a)/(k!) (b-a)^k+f^{(n+1)}(\xi)/((n+1)!)(b-a)^{n+1} $
$f^{(n+1)}(\xi)/((n+1)!)(b-a)^{n+1}$是最常見的餘項，叫做拉格朗日餘項。但是還有令一種餘項叫做積分餘項(還有第三種，暫時不提)，這可以直接用分部積分推導，或是從拉格朗日餘項用積分中值公式推導。後一種方法簡單一點。
多加上一個條件，就是$f(x)$在$(a, b)$連續可微，就成立積分餘項
$(1/n!)\int_a^b f^{(n+1)}(x)(b-x)^n \, dx$
注意到$(b-x)$在 $x$ 屬於$[a,b]$時不變號，又發現
$(1/n!)\int_a^b (b-x)^n \, dx= (b-a)^{n+1}/(n+1)!$，
之後套用積分中值公式就知道兩種餘項相等了。
$ f(b) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(a)/(k!) (b-a)^k+f^{(n+1)}(\xi)/((n+1)!)(b-a)^{n+1} $
$f^{(n+1)}(\xi)/((n+1)!)(b-a)^{n+1}$是最常見的餘項，叫做拉格朗日餘項。但是還有令一種餘項叫做積分餘項(還有第三種，暫時不提)，這可以直接用分部積分推導，或是從拉格朗日餘項用積分中值公式推導。後一種方法簡單一點。
多加上一個條件，就是$f(x)$在$(a, b)$連續可微，就成立積分餘項
$(1/n!)\int_a^b f^{(n+1)}(x)(b-x)^n \, dx$
注意到$(b-x)$在 $x$ 屬於$[a,b]$時不變號，又發現
$(1/n!)\int_a^b (b-x)^n \, dx= (b-a)^{n+1}/(n+1)!$，
之後套用積分中值公式就知道兩種餘項相等了。
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