先簡述一下拉格朗日乘數法:
f 是定義在 Rn 中一開集 U 的一階連續可微的實函數,它被限制在由g1(x1,⋯,xn)=c1⋮gm(x1,⋯,xn)=cm所定義的緊致曲面 S 上,並且 S⊂U 。其中各 gi 都連續可微,並且它們的梯度 ∇gi 都線性獨立。如果 f 在 S 中的 p 點達到極值,那麼 f 在 p 點的梯度 ∇pf 是 ∇pg1,⋯,∇pgm 的線性組合。
這個定理在Charles Chapman Pugh所著的Real Mathematical Analysis一書中有很簡短的證明,以下採用該書的證明。
2023年6月13日 星期二
拉格朗日乘數法一個簡易的證明
2023年6月6日 星期二
用微分形式為什麼可以導出散度,梯度,旋度等等的物理量
在這兩篇:
用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符
續上篇,用微分形式導出拉普拉斯算符
當中,對微分形式作幾次d運算,並且把例如σ1和dx對位起來,就能得到所需要的各種物理量,這中間完全沒提及物理量的定義,用機械式的方式就算出來了,這是為什麼?
2023年6月2日 星期五
續上篇,用微分形式導出拉普拉斯算符
符號都沿用上一篇的設定。
首先來看歐氏座標的拉普拉斯算符如何跟微分形式對應。這裡我們需要另一個微分形式的運算,其實它就是說 ∗ 運算具有分配律而已。∗(ω1+ω2)=ω1∗+ω2∗
用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符
正交曲線座標系的各種向量分析的物理量(散度、旋度、梯度等等),不論公式和推導看起來都很複雜,可是一旦引入微分形式,只要一直偏微分就可以導出所有的公式!微分形式的簡單運算律就包含了所有的幾何意義,相當神奇。
訂閱:
文章 (Atom)