用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符

正交曲線座標系的各種向量分析的物理量(散度、旋度、梯度等等)，不論公式和推導看起來都很複雜，可是一旦引入微分形式，只要一直偏微分就可以導出所有的公式！微分形式的簡單運算律就包含了所有的幾何意義，相當神奇。

首先介紹微分形式的運算方式，這裡只列出本文用得到的。所謂的微分形式簡單講就是會出現在向量積分的積分符號裏面的運算式，例如$\int A\,dx+B\,dy\ $當中的$A\,dx+B\,dy$，或者$\int A\,dxdy+B\,dydz+C\,dzdx\ $當中的$A\,dxdy+B\,dydz+C\,dzdx$。本文假定都是在三維空間的運算。用到的運算律有：

反對稱性： $$\cdots dx\cdots dy\cdots = -\cdots dy\cdots dx\cdots$$
d運算： $$d(f\,dxdy)=df\,dxdy=(f_xdx+f_ydy+f_zdz)dxdy=f_zdzdxdy=f_zdxdydz$$ ，其中用到了反對稱性和很自然的分配律。例如因為反對稱性，$dxdx=0$，以及$dzdxdy=-dxdzdy=dxdydz$

*運算： $$\omega (\omega^\ast)=dxdydz$$ ，其中$\omega$和$\omega^\ast$是微分形式。注意到反對稱性，也就是說$dzdxdy=dxdydz$...等等。例如$(dydz)^\ast=dx$。為了減少括弧，如果微分形式只有一個d，就不寫括弧。例如$(dx)^\ast=dx^\ast$

於是有下面這一個對照表：
$$\begin{align*} &f                             &  f  &\\ d&\downarrow    &  \downarrow &grad\\ f_xdx+f_y&dy+f_zdz  &f_x\textbf{i}+f_y&\textbf{j}+f_z\textbf{k}\\ d&\downarrow    &  \downarrow &curl\\ (f_{zy}-f_{yz}) dx^\ast+(f_{xz}&-f_{zx})dy^\ast+(f_{yx}-f_{xy})dz^\ast &A\textbf{i}+B&\textbf{j}+C\textbf{k}\\ d&\downarrow    &  \downarrow &div\\ &D(1)^\ast & D \end{align*}$$
左邊這一欄所寫的許多偏微分式只是為了演示運算過程而已。例如$f_xdx+f_ydy+f_zdz$，我們可以當作是$Adx+Bdy+Cdz$，對應到$A\textbf{i}+B\textbf{j}+C\textbf{k}$這一個向量場。

以上其實已經解決了歐氏座標系的散度旋度梯度等問題。但是在正交曲線座標系$\mathbf{x}=(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))$中，我們就不能簡單的把$Adu+Bdv+Cdw$對應到$A\mathbf{e}_1+B\mathbf{e}_2+C\mathbf{e}_3$了。這裡我們使用$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$代表移動的右手系單位正交座標向量：
$$\mathbf{e}_1=\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}/\left|  \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}\right|\\ \mathbf{e}_2=\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}/\left|  \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}\right|\\ \mathbf{e}_3=\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial w}/\left|  \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial w}\right|$$ 我們需要把$d\mathbf{x}$轉成適當的形式，用$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$的線性組合來表示，它們的係數會是我們需要的一次微分形式： $$d\mathbf{x}=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}du+\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}dv+\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial w}dw=\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3$$ 如此一來，$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$就對應到上面對照表中的$dx,dy,dz$，$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$則對應到對照表中的$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，那麼也可以按照對照表來計算出所需要的各種物理量了。從上式可得： $$\begin{align*} \sigma_1&=\left|  \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}\right|du=\lambda_1du \\ \sigma_2&=\left|  \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}\right|dv=\lambda_2dv \\ \sigma_3&=\left|  \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial w}\right|dw=\lambda_3dw \\ \end{align*}$$
現在要計算梯度，散度，旋度已經是很容易的事了。

梯度：給定一函數$f(u,v,w)$，求梯度。
$$\begin{align*}df=f_udu+f_vdv+f_wdw&=\frac{1}{\lambda_1}f_u\sigma_1+                                                   \frac{1}{\lambda_2}f_v\sigma_2+                                                   \frac{1}{\lambda_3}f_w\sigma_3 \\ 因此，梯度&=\frac{1}{\lambda_1}f_u\mathbf{e}_1+                   \frac{1}{\lambda_2}f_v\mathbf{e}_2+                   \frac{1}{\lambda_3}f_w\mathbf{e}_3\end{align*}$$

旋度：給定一向量場$A\mathbf{e}_1+B\mathbf{e}_2+C\mathbf{e}_3$，求旋度。
$$\begin{align*}  &對應的微分形式\ \omega=\ A\sigma_1+B\sigma_2+C\sigma_3=A\lambda_1du+B\lambda_2dv+C\lambda_3dw \\  \\  &d\omega=\underbrace{\left[\frac{\partial(C\lambda_3)}{\partial v}-\frac{\partial(B\lambda_2)}{\partial w}\right]}_{K_1}dvdw+\underbrace{\left[\frac{\partial(A\lambda_1)}{\partial w}-\frac{\partial(C\lambda_3)}{\partial u}\right]}_{K_2}dwdu+\underbrace{\left[\frac{\partial(B\lambda_2)}{\partial u}-\frac{\partial(A\lambda_1)}{\partial v}\right]}_{K_3}dudv \\ &=\frac{1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}(\lambda_1 K_1 \sigma_2\sigma_3+\lambda_2 K_2 \sigma_3\sigma_1+\lambda_3 K_3 \sigma_1\sigma_2) \\  \\ &因為\sigma_2\sigma_3={\sigma_1}^\ast,\ \sigma_3\sigma_1={\sigma_2}^\ast,\ \sigma_1\sigma_2={\sigma_3}^\ast \\ &所以旋度=\frac{1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}(\lambda_1 K_1 \mathbf{e}_1+\lambda_2 K_2 \mathbf{e}_2+\lambda_3 K_3 \mathbf{e}_3) \end{align*}$$

散度：給定一向量場$A\mathbf{e}_1+B\mathbf{e}_2+C\mathbf{e}_3$，求散度。
$$\begin{align*} &對應的微分形式\omega=A\sigma_2\sigma_3+B\sigma_3\sigma_1+C\sigma_1\sigma_2=A\lambda_2\lambda_3dvdw+B\lambda_3\lambda_1dwdu+C\lambda_1\lambda_2dudv \\  \\ &d\omega=\left[\frac{\partial(A\lambda_2\lambda_3)}{\partial u}+\frac{\partial(B\lambda_3\lambda_1)}{\partial v}+\frac{\partial(C\lambda_1\lambda_2)}{\partial w}\right]dudvdw \\ &=\underbrace{\frac{1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}\left[\frac{\partial(A\lambda_2\lambda_3)}{\partial u}+\frac{\partial(B\lambda_3\lambda_1)}{\partial v}+\frac{\partial(C\lambda_1\lambda_2)}{\partial w}\right]}_{D}\sigma_1\sigma_2\sigma_3 \\  \\ &因為\sigma_1\sigma_2\sigma_3=(1)^\ast \\ &所以散度=D \end{align*}$$
拉普拉斯算符的計算較長，下一篇再給出。