拉格朗日乘數法一個簡易的證明

先簡述一下拉格朗日乘數法：
$f$ 是定義在 $R^n$ 中一開集 $U$ 的一階連續可微的實函數，它被限制在由 $$g_1(x_1,\cdots,x_n)=c_1 \\ \vdots \\ g_m(x_1,\cdots,x_n)=c_m \\ $$ 所定義的緊致曲面 $S$ 上，並且 $S\subset U$ 。其中各 $g_i$ 都連續可微，並且它們的梯度 $\nabla g_i$ 都線性獨立。如果 $f$ 在 $S$ 中的 $p$ 點達到極值，那麼 $f$ 在 $p$ 點的梯度 $\nabla_p f$ 是 $\nabla_p g_1,\cdots,\nabla _p g_m$ 的線性組合。

這個定理在Charles Chapman Pugh所著的Real Mathematical Analysis一書中有很簡短的證明，以下採用該書的證明。

該書中有提到，假定$n=3,m=1$，那麼因為 $f$ 的一些光滑性質，它的等值面在 $R^3$ 中可視為一系列曲面，並且局部的有單調性。因此當 $S$ 穿過這些曲面時，肯定不會穿過極值，只有相切的情況才有可能有極值。

該書中的證明就是巧妙的構造出 $f$ 等值面在 $S$ 上，假如不符合定理條件的話，會有單調性。這裡用了反證法，雖說反證法比較不直覺，可是這證明很巧妙，簡短而且富有幾何感，所以特別介紹。

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不失一般性，把$\,p\,$設為原點，令 $c_1,\cdots,c_m,f(p)$ 都等於零。又假定 $\nabla_0 f \neq 0$（等於零的情況無須證明），並且跟 $\nabla_0 g_1,\cdots,\nabla_0 g_m$ 線性獨立。因此我們可以找到 $\omega_{m+2},\cdots,\omega_n$ 使得 $$\nabla_0 g_1,\cdots,\nabla_0 g_m,\nabla_0 f,\omega_{m+2},\cdots,\omega_n$$ 為 $R^n$ 的一個基。定義以下$n-m-1$個函數： $$h_i(x)=\langle\omega_i,x\rangle,\ \  m+2 \le i \le n$$ $\langle\rangle$是內積。令 $F(x)=(g_1(x),\cdots,g_m(x),f(x),h_{m+2}(x),\cdots,h_n(x))$

$F$在原點附近是一個微分同胚(一對一，映成，$F$和反函數都一階連續可微)，因為它的微分： $${[\nabla_0g_1 \cdots \nabla_0g_m\ \ \nabla_0f\ \ \omega_{m+2}\cdots\omega_n]}^T$$ 各列(row)是線性獨立的。

把 $F$ 的各個分量 $F_i$ 視為在原點附近的一個新的座標系(因為是微分同胚所以可以這樣做)。在這的座標系中，$S$ 對應到座標平面 $0\times R^{n-m}$，其中 $F_1,\cdots,F_m$ 都等於零，而 $f$ 只是第 $m+1$ 個座標軸，當然不會達到極值。
$\blacksquare$

原書的證明只到這，證明只有兩個黑色方塊之間的內容，真的很簡短。這裡再補充說明，$f$ 在新座標系中不過是一座標軸，它穿過原點時自然是單調的，在原點當然不是極值。