符號都沿用上一篇的設定。
首先來看歐氏座標的拉普拉斯算符如何跟微分形式對應。這裡我們需要另一個微分形式的運算,其實它就是說 ∗ 運算具有分配律而已。∗(ω1+ω2)=ω1∗+ω2∗
給定函數f,對它施予d∗d運算,會得到我們想要的結果:
df=fxdx+fydy+fzdz∗df=fxdydz+fydzdx+fzdxdyd∗df=(fxx+fyy+fzz)⏟Δfdxdydz
於是,根據正確的對應原則:
dx⟷σ1dy⟷σ2dz⟷σ3
我們得到
df=aσ1+bσ2+cσ3∗df=aσ2σ3+bσ3σ1+cσ1σ2d∗df=Δfσ1σ2σ3
於是,給定f(u,v,w),其中u,v,w是正交曲線座標系:
df=fudu+fvdv+fwdw=fuλ1σ1+fvλ2σ2+fwλ3σ3∗df=fuλ1σ2σ3+fvλ2σ3σ1+fwλ3σ1σ2=fuλ1λ2λ3dvdw+fvλ2λ3λ1dwdu+fwλ3λ1λ2dudvd∗df=[∂∂u(fuλ2λ3λ1)+∂∂v(fvλ3λ1λ2)+∂∂w(fwλ1λ2λ3)]dudvdw=1λ1λ2λ3[∂∂u(fuλ2λ3λ1)+∂∂v(fvλ3λ1λ2)+∂∂w(fwλ1λ2λ3)]⏟Δfσ1σ2σ3
這樣就得到了正交曲線座標系的拉普拉斯算符。
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