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2025年3月12日 星期三

解一維熱傳導方程

眾所周知,Black-Sholes 方程可以化為一維的熱傳導方程,而這個方程可以用傅立葉變換來解。但是一般財經書籍不會去解 Black-Sholes 方程,而是用了 risk neutral 方法直接解出。不過這有種天外飛來一筆的感覺,因為當初是先解了 Black-Sholes 方程,解出來以後才知道可以用 risk neutral 方法來解。所以導致一個奇怪的現象,明明列了 Black-Sholes 方程,卻不去解它。傅立葉變換的代數操作複雜些,以下就來介紹。

首先我們需要一個傅立葉積分的結果,這裡就不推導怎麼算出來的:0eax2cosbx dx=12πaeb24a另外,傅立葉變換不同的作者會採用不同的定義,通常是只是差一個係數,只要變換和反變換係數的乘積為1/2π就好。這裡採用的定義是:F{f}=ˆf(ω)=f(x)eiωx dxF1{ˆf}=f(x)=12πˆf(ω)eiωx dω這裡 F{f} 就是對 f(x) 做傅立葉變換。
我們還需要一些傅立葉變換的性質。首先是 f(x) 的微分性質,在傅立葉變換下就變成簡單的代數操作,也就是乘以 iω。若 f 是多元函數,而傅立葉變換只對 x 變換,則 f 關於其他變數的偏微分可以直接提到積分號外。若只關心被提到積分號外的變數,可以寫成常微分。(a)    F{fx}=iωF{f},    (b)    F{2fx2}=ω2F{f},    (c)    F{ft}=tF{f}其次是卷積性質。首先兩個函數 f(x)g(x) 的卷積定義為fg=f(u)g(xu) du傅立葉變換的卷積性質為F{fg}=F{f}F{g}傅立葉變換傅立葉變換所需性質已經條列完畢,正式開始解一維熱傳導方程:ft=κ2fx2,    f(x,0)=g(x),    |f(x,t)|<M求解 f 。對偏微分式兩端做傅立葉變換,並利用其微分性質可得ddtF{f}=κω2F{f}這是一基本的對自變數 t 的微分方程,其解為F{f}=Ceκω2t根據邊界條件可得F{f(x,0)}=C=F{g(x)}因此F{f}=F{g(x)}eκω2t接下來我們利用 (1) 找出 eκω2t是哪一個函數的傅立葉變換。利用歐拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 和奇偶函數的積分性質可得 eax2eibxdx=20eax2cosbx dx=πaeb24ab=ωeax2eiωxdx=F{eax2}=πaeω24aω24a=κω2ta=14κt 代入上式得F{ex2/4κt}=4κπteκω2t利用傅立葉變換的線性性質調整係數得F{14κπtex2/4κt}=eκω2t代入 (2) 式得F{f}=F{g}F{14κπtex2/4κt}因此f(x,t)=g14κπtex2/4κt=g(u)14κπte(xu)2/4κtdu

2025年3月11日 星期二

解偏微分方程的特徵曲線法(characteristic curve)

 在大學生數學競賽習題精講(第3版)的 4.2 節有如下題目: yzxxzy=0 解法是設 u=x, v=x2+y2。這個解法挺無厘頭,因為等於是事先知道了答案再代回去。實際上解這類微分方程有標準方式,就是特徵曲線法,以下介紹,用的符號也改用一般講偏微分方程的書的符號。

如下的一階線性偏微分方程:ux+p(x,y)uy=0,可以用特徵曲線法來解。首先來研究這個方程的幾何意義。這個方程可以改寫成(1, p(x,y))u=0也就是 u 的梯度和沿著 (1, p(x,y)) 這個方向的內積等於零。多元微積分告訴我們這就是
u(1, p(x,y)) 這個方向的變化為零,或說是 u 在這方向為定值。而 (1, p(x,y)) 就是 dy/dx=p(x,y) 的解曲線的切線方向。我們把 dy/dx=p(x,y) 的解曲線寫成這個形式:φ(x,y)=C 。所以 uφ(x,y) 這條曲線 (稱之為特徵曲線) 上為定值,也就是 uφ 的函數,可以寫成 u=f(φ(x,y))f 為任意函數(當然要符合微分條件),而這就是解了。

總結一下解法。首先解出:dydx=p(x,y)這個微分方程,解為 φ(x,y)=Cu 的解就是:u=f(φ(x,y))

作為範例,我們試著來解 (1) 式。將 (1) 式改寫成zxxyzy=0所以特徵曲線的微分方程就是dydx=xy此式可以用變數分離法解出φ(x,y)=x2+y2=C,答案就是z=f(x2+y2)。也因此我們可以發現變數代換 v=x2+y2 本身就已經是答案了,所以用這種變數代換去解沒有意義。

2025年1月23日 星期四

量綱函數的形式

f(αx)=φ(α)f(x),其中 fφ 是可微函數。現在欲證明:φ(α)=αd。這裏的 φ 就是大名鼎鼎的量綱函數,現在要證明它的形式只能是冪函數。

這裏我們還需要一個 Euler 齊次函數定理:
xfx+yfy+zfz=nf(x,y,z)滿足此偏微分方程的 f 一定是n次齊次函數:
f(tx,ty,tz)=tnf(x,y,z)
現在證明開頭的量綱函數形式。f(αx)=φ(α)f(x)α=1 代入 (1) 式可得 φ(1)=1
u=αx(1)式對 α 微分: fux=φ(α)f(x)fuuα=φ(α)f(uα)=φ(α)φ(1α)f(u)α=1 代入上式可得:fuu=φ(1)φ(1)f(u)=φ(1)f(u) 由 Euler 齊次函數定理可得f(αx)=αφ(1)f(x) 因此φ(α)=αd。核查正確性,φ(1) 確實等於 d

2023年6月13日 星期二

拉格朗日乘數法一個簡易的證明

先簡述一下拉格朗日乘數法:
f 是定義在 Rn 中一開集 U 的一階連續可微的實函數,它被限制在由g1(x1,,xn)=c1gm(x1,,xn)=cm所定義的緊致曲面 S 上,並且 SU 。其中各 gi 都連續可微,並且它們的梯度 gi 都線性獨立。如果 fS 中的 p 點達到極值,那麼 fp 點的梯度 pfpg1,,pgm 的線性組合。

這個定理在Charles Chapman Pugh所著的Real Mathematical Analysis一書中有很簡短的證明,以下採用該書的證明。

2023年6月6日 星期二

用微分形式為什麼可以導出散度,梯度,旋度等等的物理量

在這兩篇:
用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符
續上篇,用微分形式導出拉普拉斯算符
當中,對微分形式作幾次d運算,並且把例如σ1dx對位起來,就能得到所需要的各種物理量,這中間完全沒提及物理量的定義,用機械式的方式就算出來了,這是為什麼?

2023年6月3日 星期六

續上篇,例題

做一些例題,看上兩篇(12)的公式怎麼使用。

2023年6月2日 星期五

續上篇,用微分形式導出拉普拉斯算符

 符號都沿用上一篇的設定。

首先來看歐氏座標的拉普拉斯算符如何跟微分形式對應。這裡我們需要另一個微分形式的運算,其實它就是說  運算具有分配律而已。(ω1+ω2)=ω1+ω2