量綱函數的形式

$f(\alpha x)=\varphi(\alpha)f(x)$，其中 $f$ 和 $\varphi$ 是可微函數。現在欲證明：$\varphi(\alpha)={\alpha}^{d}$。這裏的 $\varphi$ 就是大名鼎鼎的量綱函數，現在要證明它的形式只能是冪函數。

這裏我們還需要一個 Euler 齊次函數定理：
$$xf_x+yf_y+zf_z=nf(x,y,z)$$滿足此偏微分方程的 $f$ 一定是n次齊次函數：
$$f(tx,ty,tz)=t^nf(x,y,z)$$
現在證明開頭的量綱函數形式。$$\begin{align*} f(\alpha x)=\varphi(\alpha)f(x) \tag{1}            \end{align*}$$令 $\alpha = 1$ 代入 $(1)$ 式可得 $\varphi(1)=1$。
令 $u=\alpha x $，$(1)$式對 $\alpha$ 微分： $$\begin{align*} f_u x &=\varphi '(\alpha)f(x) \\f_u \frac{u}{\alpha}&=\varphi '(\alpha)f(\frac{u}{\alpha}) \\ &=\varphi '(\alpha) \varphi(\frac{1}{\alpha})f(u)  \end{align*}$$令 $\alpha = 1$ 代入上式可得：$$\begin{align*} f_u u &= \varphi '(1)\varphi(1)f(u) \\ &=\varphi '(1)f(u)\end{align*}$$ 由 Euler 齊次函數定理可得$$f(\alpha x)=\alpha^{\varphi '(1)}f(x)$$ 因此$\varphi(\alpha)=\alpha^d$。核查正確性，$\varphi ' (1)$ 確實等於 $d$。

拉格朗日乘數法一個簡易的證明

先簡述一下拉格朗日乘數法：
$f$ 是定義在 $R^n$ 中一開集 $U$ 的一階連續可微的實函數，它被限制在由$$
g_1(x_1,\cdots,x_n)=c_1 \\
\vdots \\
g_m(x_1,\cdots,x_n)=c_m \\
$$所定義的緊致曲面 $S$ 上，並且 $S\subset U$ 。其中各 $g_i$ 都連續可微，並且它們的梯度 $\nabla g_i$ 都線性獨立。如果 $f$ 在 $S$ 中的 $p$ 點達到極值，那麼 $f$ 在 $p$ 點的梯度 $\nabla_p f$ 是 $\nabla_p g_1,\cdots,\nabla _p g_m$ 的線性組合。

這個定理在Charles Chapman Pugh所著的Real Mathematical Analysis一書中有很簡短的證明，以下採用該書的證明。

用微分形式為什麼可以導出散度，梯度，旋度等等的物理量

在這兩篇：
用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符
續上篇，用微分形式導出拉普拉斯算符
當中，對微分形式作幾次d運算，並且把例如$\sigma_1$和$dx$對位起來，就能得到所需要的各種物理量，這中間完全沒提及物理量的定義，用機械式的方式就算出來了，這是為什麼？

續上篇，例題

做一些例題，看上兩篇（1，2）的公式怎麼使用。

續上篇，用微分形式導出拉普拉斯算符

 符號都沿用上一篇的設定。

首先來看歐氏座標的拉普拉斯算符如何跟微分形式對應。這裡我們需要另一個微分形式的運算，其實它就是說$\ *\ $運算具有分配律而已。$$\ast(\omega_1+\omega_2)={\omega_1}^\ast+{\omega_2}^\ast$$

用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符

正交曲線座標系的各種向量分析的物理量(散度、旋度、梯度等等)，不論公式和推導看起來都很複雜，可是一旦引入微分形式，只要一直偏微分就可以導出所有的公式！微分形式的簡單運算律就包含了所有的幾何意義，相當神奇。

Haskell的函數庫和沙盒

 Haskell 管理 package 和編譯專案的軟體 cabal，以前有沙盒功能，建立沙盒環境後，自己的專案所引入的函數庫不會污染到別的地方，只在自己的專案有用。現在這功能已經拿掉了。為何呢？