眾所周知,Black-Sholes 方程可以化為一維的熱傳導方程,而這個方程可以用傅立葉變換來解。但是一般財經書籍不會去解 Black-Sholes 方程,而是用了 risk neutral 方法直接解出。不過這有種天外飛來一筆的感覺,因為當初是先解了 Black-Sholes 方程,解出來以後才知道可以用 risk neutral 方法來解。所以導致一個奇怪的現象,明明列了 Black-Sholes 方程,卻不去解它。傅立葉變換的代數操作複雜些,以下就來介紹。
首先我們需要一個傅立葉積分的結果,這裡就不推導怎麼算出來的:∫∞0e−ax2cosbx dx=12√πae−b24a另外,傅立葉變換不同的作者會採用不同的定義,通常是只是差一個係數,只要變換和反變換係數的乘積為1/2π就好。這裡採用的定義是:F{f}=ˆf(ω)=∫∞−∞f(x)e−iωx dxF−1{ˆf}=f(x)=12π∫∞−∞ˆf(ω)eiωx dω這裡 F{f} 就是對 f(x) 做傅立葉變換。
我們還需要一些傅立葉變換的性質。首先是 f(x) 的微分性質,在傅立葉變換下就變成簡單的代數操作,也就是乘以 iω。若 f 是多元函數,而傅立葉變換只對 x 變換,則 f 關於其他變數的偏微分可以直接提到積分號外。若只關心被提到積分號外的變數,可以寫成常微分。(a) F{∂f∂x}=iωF{f}, (b) F{∂2f∂x2}=−ω2F{f}, (c) F{∂f∂t}=∂∂tF{f}其次是卷積性質。首先兩個函數 f(x) 和 g(x) 的卷積定義為f∗g=∫∞−∞f(u)g(x−u) du傅立葉變換的卷積性質為F{f∗g}=F{f}F{g}傅立葉變換傅立葉變換所需性質已經條列完畢,正式開始解一維熱傳導方程:∂f∂t=κ∂2f∂x2, f(x,0)=g(x), |f(x,t)|<M求解 f 。對偏微分式兩端做傅立葉變換,並利用其微分性質可得ddtF{f}=−κω2F{f}這是一基本的對自變數 t 的微分方程,其解為F{f}=Ce−κω2t根據邊界條件可得F{f(x,0)}=C=F{g(x)}因此F{f}=F{g(x)}e−κω2t接下來我們利用 (1) 找出 e−κω2t是哪一個函數的傅立葉變換。利用歐拉公式 eiθ=cosθ+isinθ 和奇偶函數的積分性質可得 ∫∞−∞e−ax2e−ibxdx=2∫∞0e−ax2cosbx dx=√πae−b24a令 b=ω得 ∫∞−∞e−ax2e−iωxdx=F{e−ax2}=√πae−ω24a令 −ω24a=−κω2t 得 a=14κt 代入上式得F{e−x2/4κt}=√4κπte−κω2t利用傅立葉變換的線性性質調整係數得F{√14κπte−x2/4κt}=e−κω2t代入 (2) 式得F{f}=F{g}F{√14κπte−x2/4κt}因此f(x,t)=g∗√14κπte−x2/4κt=∫∞−∞g(u)√14κπte−(x−u)2/4κtdu
電影,讀書心得(大部分是數學),將棋
2025年3月12日 星期三
解一維熱傳導方程
2025年3月11日 星期二
解偏微分方程的特徵曲線法(characteristic curve)
在大學生數學競賽習題精講(第3版)的 4.2 節有如下題目:解偏微分方程 y∂z∂x−x∂z∂y=0 解法是設 u=x, v=x2+y2。這個解法挺無厘頭,因為等於是事先知道了答案再代回去。實際上解這類微分方程有標準方式,就是特徵曲線法,以下介紹,用的符號也改用一般講偏微分方程的書的符號。
如下的一階線性偏微分方程:∂u∂x+p(x,y)∂u∂y=0,可以用特徵曲線法來解。首先來研究這個方程的幾何意義。這個方程可以改寫成(1, p(x,y))⋅∇u=0也就是 u 的梯度和沿著 (1, p(x,y)) 這個方向的內積等於零。多元微積分告訴我們這就是
u 在 (1, p(x,y)) 這個方向的變化為零,或說是 u 在這方向為定值。而 (1, p(x,y)) 就是 dy/dx=p(x,y) 的解曲線的切線方向。我們把 dy/dx=p(x,y) 的解曲線寫成這個形式:φ(x,y)=C 。所以 u 在 φ(x,y) 這條曲線 (稱之為特徵曲線) 上為定值,也就是 u 是 φ 的函數,可以寫成 u=f(φ(x,y)) ,f 為任意函數(當然要符合微分條件),而這就是解了。
總結一下解法。首先解出:dydx=p(x,y)這個微分方程,解為 φ(x,y)=C 。u 的解就是:u=f(φ(x,y))
作為範例,我們試著來解 (1) 式。將 (1) 式改寫成∂z∂x−xy∂z∂y=0所以特徵曲線的微分方程就是dydx=−xy此式可以用變數分離法解出φ(x,y)=x2+y2=C,答案就是z=f(x2+y2)。也因此我們可以發現變數代換 v=x2+y2 本身就已經是答案了,所以用這種變數代換去解沒有意義。
2025年1月23日 星期四
量綱函數的形式
f(αx)=φ(α)f(x),其中 f 和 φ 是可微函數。現在欲證明:φ(α)=αd。這裏的 φ 就是大名鼎鼎的量綱函數,現在要證明它的形式只能是冪函數。
這裏我們還需要一個 Euler 齊次函數定理:
xfx+yfy+zfz=nf(x,y,z)滿足此偏微分方程的 f 一定是n次齊次函數:
f(tx,ty,tz)=tnf(x,y,z)
現在證明開頭的量綱函數形式。f(αx)=φ(α)f(x)令 α=1 代入 (1) 式可得 φ(1)=1。
令 u=αx,(1)式對 α 微分: fux=φ′(α)f(x)fuuα=φ′(α)f(uα)=φ′(α)φ(1α)f(u)令 α=1 代入上式可得:fuu=φ′(1)φ(1)f(u)=φ′(1)f(u) 由 Euler 齊次函數定理可得f(αx)=αφ′(1)f(x) 因此φ(α)=αd。核查正確性,φ′(1) 確實等於 d。
2023年6月13日 星期二
拉格朗日乘數法一個簡易的證明
先簡述一下拉格朗日乘數法:
f 是定義在 Rn 中一開集 U 的一階連續可微的實函數,它被限制在由g1(x1,⋯,xn)=c1⋮gm(x1,⋯,xn)=cm所定義的緊致曲面 S 上,並且 S⊂U 。其中各 gi 都連續可微,並且它們的梯度 ∇gi 都線性獨立。如果 f 在 S 中的 p 點達到極值,那麼 f 在 p 點的梯度 ∇pf 是 ∇pg1,⋯,∇pgm 的線性組合。
這個定理在Charles Chapman Pugh所著的Real Mathematical Analysis一書中有很簡短的證明,以下採用該書的證明。
2023年6月6日 星期二
用微分形式為什麼可以導出散度,梯度,旋度等等的物理量
在這兩篇:
用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符
續上篇,用微分形式導出拉普拉斯算符
當中,對微分形式作幾次d運算,並且把例如σ1和dx對位起來,就能得到所需要的各種物理量,這中間完全沒提及物理量的定義,用機械式的方式就算出來了,這是為什麼?
2023年6月2日 星期五
續上篇,用微分形式導出拉普拉斯算符
符號都沿用上一篇的設定。
首先來看歐氏座標的拉普拉斯算符如何跟微分形式對應。這裡我們需要另一個微分形式的運算,其實它就是說 ∗ 運算具有分配律而已。∗(ω1+ω2)=ω1∗+ω2∗