一個有趣的行列式(determinant)問題

因為是在楊維哲的"湖濱高中資優數學講義：代數" 中看到的，所以下面把行列式稱為定準，這是該書中的稱呼。翻成行列式的確是蠻奇怪，我從國中的時候就覺得怪了。
題目：
$$
\begin{Vmatrix}
(a - x)^2 & (a - y)^2 & (a - z)^2 \\
(b - x)^2 & (b - y)^2 & (b - z)^2 \\
(c - x)^2 & (c - y)^2  & (c - z)^2
\end{Vmatrix}
$$
作法：把定準中每個元素展開，例如把$(a-x)^2$展成$a^2 - 2ax + x^2$。因為每個元素都有三項，結構也都很類似，這就給我們一個靈感：根據每列作加法的拆解，可以把原定準拆成$3*3*3 = 27$個定準的和。因為每一列的元素都能拆成三項，共三列，所以是三的三次方。但是不用怕，因為這27個當中很多都是零。 如果任兩列取的是同一項(例如第一列取$a^2$，第二列取$b^2$)，那麼定準為零。這麼一來就只剩下$3*2*1=6$個定準。

六個定準當中隨便取一個來看，發現都可以把它拆成
(a和b和c的乘積)*{Vandemode定準，變數為xyz}。觀察可以得到要如何得到這六個，有規則可循。既然我們知道Vandemode公式，那麼就只剩下如何拆那一大串a和b和c的多項式
$-a^2 b + a b^2 + a^2 c - b^2 c - a c^2 + b c^2$

看出這是一個三元的交錯式，肯定有$(a-b)(b-c)(c-a)$的因式，那麼跟原式只差正負號，觀察或代入可得剛好是正的

那麼答案就是$(a-b)(b-c)(c-a)(z-x)(z-y)(y-z)$