2012年7月4日 星期三

一個有趣的行列式(determinant)問題

因為是在楊維哲的"湖濱高中資優數學講義:代數" 中看到的,所以下面把行列式稱為定準,這是該書中的稱呼。翻成行列式的確是蠻奇怪,我從國中的時候就覺得怪了。
題目:Det[{{(a - x)^2, (a - y)^2, (a - z)^2}, {(b - x)^2, (b - y)^2, (b -
       z)^2}, {(c - x)^2, (c - y)^2, (c - z)^2}}]]。對它做因式分解。上面是mathematica的程式碼,下面這個用了mathjax來顯示,也許ie會看不到。
\begin{vmatrix} (a-x)^2 & (a-y)^2 & (a-z)^2 \\ (b-x)^2 & (b-y)^2 & (b-z)^2 \\ (c-x)^2 & (c-y)^2 & (c-z)^2 \end{vmatrix}
作法:把定準中每個元素展開,例如把$(a-x)^2$展成$a^2 - 2ax + x^2$。因為每個元素都有三項,結構也都很類似,這就給我們一個靈感:根據每列作加法的拆解,可以把原定準拆成3*3*3 = 27個定準的和。因為每一列的元素都能拆成三項,共三列,所以是三的三次方。但是不用怕,因為這27個當中很多都是零。 如果任兩列取的是同一項(例如第一列取$a^2$,第二列取$b^2$),那麼定準為零。這麼一來就只剩下3*2*1=6個定準。

六個定準當中隨便取一個來看,發現都可以把它拆成
(a和b和c的乘積)*{Vandemode定準,變數為xyz}。觀察可以得到要如何得到這六個,有規則可循。既然我們知道Vandemode公式,那麼就只剩下如何拆那一大串a和b和c的多項式
$-a^2 b + a b^2 + a^2 c - b^2 c - a c^2 + b c^2$

看出這是一個三元的交錯式,肯定有(a-b)(b-c)(c-a)的因式,那麼跟原式只差正負號,觀察或代入可得剛好是正的

那麼答案就是$(a-b)(b-c)(c-a)(z-x)(z-y)(y-z)$

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