座標變換後新的基向量如何導出

如果只是要答案，那很簡單，假設位置向量$\bf{X}$，
$x=x(u,v,w)$，$y=y(u,v,w)$，$z=z(u,v,w)$，那麼新座標系$(u,v,w)$的基向量可以取為
$$\mathbf{g}_1=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial u},\ \mathbf{g}_2=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial v}, \ \mathbf{g}_3=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial w}$$這是未標準化的向量，物理上常常要取基向量的長度為1，那就把上述的向量除以各自的長度。

Courant的數學分析的第二卷第一分冊，練習3.6d就是在問如何導出新座標系的基向量，以及在新的基向量之下如何表示梯度。這是很有代表性的問題，因為這些問題通常是物理課本的內容，一般數學書不會提到，所以這本書把它放在練習題。題目如下：

Haskell當中的List monad用do notation時如何作到篩選

很神奇，在List monad中do notation的篩選功能guard不是語言內核，而是一個用Haskell寫的函數而已。

Haskell report 2010對於guard有如下敘述：

guard :: MonadPlus m => Bool -> m ()

guard b is return () if b is True, and mzero if b is False

部落格中用到的幾個Latex的Math語法說明

\$...內容...\$：行內使用Latex語法。
\$\$ ...內容...\$\$：獨立段落使用Latex語法。
行內使用語法會把數學式調整成一行高。

\\begin{align*}
\\
&=
\\end{align*}

{align*}：標示區塊中使用&語法對齊。*代表不自動對式子編號。
\\：換行。
&=：將此等號對齊上一個有前綴&的等號。

\tag{1a}：在行尾加標籤，可用於式子編號。
\mathbf{}：粗體。
\overbrace{}^{}：上括弧，說明文字在上。
\underbrace{}_{}：下括弧，說明文字在下。
\left(：自動調整大小的左括弧，必須跟\right)對應。其實可用在任何成對的左右標記上。例如\left| \right| ...等等。