2017年1月19日 星期四

微分形式的不變性

微分的定義是這樣的
`(1)        df=f'(x)dx`
高階微分的定義
`(1a)      d^nf=f^((n))(x)dx^n`

這個式子的由來是因為我們把`dx`當成固定的,它不是`x`的函數,所以`d(dx)=0`,但是`f'(x)`是`x`的函數,因此
`d^2f=d(df)=d(f'(x)dx)=(f''(x)dx)dx+f'(x)d(dx)=f''(x)dx^2`

那麼微分形式的不變性是什麼意思呢?
假定`x`不是自變數,而是`t`的函數 :`x=varphi(t)`
那麼`df(x)`等於什麼?
我們可以按照定義
`(2)        df(x)=df(varphi(t))=f'(varphi(t))varphi'(t)dt`
或者我們可以這樣作
`(3)        df(x)=f'(x)dx=f'(varphi(t))dvarphi(t)=f'(varphi(t))varphi'(t)dt`
注意,這裡我們只是單純的把 `x=varphi(t)`代入第`(1)`式而已,這樣作居然也對,這就是微分形式的不變性。

 總結來說,我們要對一個複合函數作微分,看成是要作變數變換`x=varphi(t)`,`(2)`的作法是先代入再微分,`(3)`的作法是先微分再代入,「微分」和「代入」的次序是可交換的。但是高階微分就沒有這種性質了。其實不只一階微分,還有其他形式的微分具有微分不變性,比較進階此處暫時不提了。

帶參數積分的微分

`d/dy int_(v(y))^(u(y)) f(x,y) dx`
這式子要如何計算?
`設 int_v^u f(x,y) dx=I(u,v,y)`
`dI=(delI)/(delu) du + (delI)/(delv) dv + (delI)/(dely) dy`
`=f(u(y),y)u'(y)dy-f(v(y),y)v'(y)dy+ (int_v^u f'_y(x,y)dx) dy`
`(dI)/dy=f(u(y),y)u'(y)-f(v(y),y)v'(y)+int_v^u f'_y(x,y)dx`

證明要比這個麻煩,這樣只是方便記憶。

2017年1月14日 星期六

泰勒多項式的兩種餘項 (兼測試AsciiMath)

假設f(x)在[a, b]連續,在(a, b) n+1階可微,帶餘項的泰勒公式是這樣的:
` f(b) = sum_(k=1)^n f^((k))(a)/(k!) (b-a)^k+f^((n+1))(xi)/((n+1)!)(b-a)^(n+1) `

`f^((n+1))(xi)/((n+1)!)(b-a)^(n+1)`是最常見的餘項,叫做拉格朗日餘項。但是還有令一種餘項叫做積分餘項(還有第三種,暫時不提),這可以直接用分部積分推導,或是從拉格朗日餘項用積分中值公式推導。後一種方法簡單一點。

多加上一個條件,就是f(x)在(a, b)連續可微,就成立積分餘項
`(1/(n!))int_a^b f^((n+1))(x)(b-x)^n dx`

注意到(b-x)在 x屬於[a,b]時不變號,又發現
`(1/(n!))int_a^b (b-x)^n dx= (b-a)^(n+1)/((n+1)!)`,
之後套用積分中值公式就知道兩種餘項相等了。