拉格朗日乘數法一個簡易的證明

先簡述一下拉格朗日乘數法：
$f$ 是定義在 $R^n$ 中一開集 $U$ 的一階連續可微的實函數，它被限制在由$$
g_1(x_1,\cdots,x_n)=c_1 \\
\vdots \\
g_m(x_1,\cdots,x_n)=c_m \\
$$所定義的緊致曲面 $S$ 上，並且 $S\subset U$ 。其中各 $g_i$ 都連續可微，並且它們的梯度 $\nabla g_i$ 都線性獨立。如果 $f$ 在 $S$ 中的 $p$ 點達到極值，那麼 $f$ 在 $p$ 點的梯度 $\nabla_p f$ 是 $\nabla_p g_1,\cdots,\nabla _p g_m$ 的線性組合。

這個定理在Charles Chapman Pugh所著的Real Mathematical Analysis一書中有很簡短的證明，以下採用該書的證明。

用微分形式為什麼可以導出散度，梯度，旋度等等的物理量

在這兩篇：
用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符
續上篇，用微分形式導出拉普拉斯算符
當中，對微分形式作幾次d運算，並且把例如$\sigma_1$和$dx$對位起來，就能得到所需要的各種物理量，這中間完全沒提及物理量的定義，用機械式的方式就算出來了，這是為什麼？

續上篇，例題

做一些例題，看上兩篇（1，2）的公式怎麼使用。

續上篇，用微分形式導出拉普拉斯算符

 符號都沿用上一篇的設定。

首先來看歐氏座標的拉普拉斯算符如何跟微分形式對應。這裡我們需要另一個微分形式的運算，其實它就是說$\ *\ $運算具有分配律而已。$$\ast(\omega_1+\omega_2)={\omega_1}^\ast+{\omega_2}^\ast$$

用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符

正交曲線座標系的各種向量分析的物理量(散度、旋度、梯度等等)，不論公式和推導看起來都很複雜，可是一旦引入微分形式，只要一直偏微分就可以導出所有的公式！微分形式的簡單運算律就包含了所有的幾何意義，相當神奇。

Haskell的函數庫和沙盒

 Haskell 管理 package 和編譯專案的軟體 cabal，以前有沙盒功能，建立沙盒環境後，自己的專案所引入的函數庫不會污染到別的地方，只在自己的專案有用。現在這功能已經拿掉了。為何呢？

座標變換後新的基向量如何導出

如果只是要答案，那很簡單，假設位置向量$\bf{X}$，
$x=x(u,v,w)$，$y=y(u,v,w)$，$z=z(u,v,w)$，那麼新座標系$(u,v,w)$的基向量可以取為
$$\mathbf{g}_1=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial u},\ \mathbf{g}_2=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial v}, \ \mathbf{g}_3=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial w}$$這是未標準化的向量，物理上常常要取基向量的長度為1，那就把上述的向量除以各自的長度。

Courant的數學分析的第二卷第一分冊，練習3.6d就是在問如何導出新座標系的基向量，以及在新的基向量之下如何表示梯度。這是很有代表性的問題，因為這些問題通常是物理課本的內容，一般數學書不會提到，所以這本書把它放在練習題。題目如下：

Haskell當中的List monad用do notation時如何作到篩選

很神奇，在List monad中do notation的篩選功能guard不是語言內核，而是一個用Haskell寫的函數而已。

Haskell report 2010對於guard有如下敘述：

guard :: MonadPlus m => Bool -> m ()

guard b is return () if b is True, and mzero if b is False

部落格中用到的幾個Latex的Math語法說明

\$...內容...\$：行內使用Latex語法。
\$\$ ...內容...\$\$：獨立段落使用Latex語法。
行內使用語法會把數學式調整成一行高。

\\begin{align*}
\\
&=
\\end{align*}

{align*}：標示區塊中使用&語法對齊。*代表不自動對式子編號。
\\：換行。
&=：將此等號對齊上一個有前綴&的等號。

\tag{1a}：在行尾加標籤，可用於式子編號。
\mathbf{}：粗體。
\overbrace{}^{}：上括弧，說明文字在上。
\underbrace{}_{}：下括弧，說明文字在下。
\left(：自動調整大小的左括弧，必須跟\right)對應。其實可用在任何成對的左右標記上。例如\left| \right| ...等等。

測度論講義中的定理10.5.5的證明補充說明

跟上一篇一樣是出自測度論講義(嚴加安著)第三版，這次書中的證明過程都沒錯了，只是有一個地方很難明白，所以補充說明。
定理如下：

設 $\mu$ 是 $E$ (同上一篇)上的實值集函數，滿足四條公理(Shapley值必須符合的公理)的函數$\phi$是唯一的，等於下式：
$$
\phi_i(\mu)=\sum_{T \subset E}\gamma_n(|T|)[\mu(T)-\mu(T \backslash \{i\})], i=1,\cdots,n \\
\gamma_n(|T|)=\frac{(n-|T|)!(|T|-1)!}{n!}
$$

測度論講義中的引理10.5.1的證明補充說明

書籍是測度論講義 (嚴加安著) 第三版。以下按照書中證明，只是難懂的部份加上補充以及錯誤的地方改正。 要證明的是

$$\sum_{T \subset F \subset A}(-1)^{|F|-|T|} \frac{1}{|F|}=\frac{(|A|-|T|)!(|T|-1)!}{|A|!}\ \ \ \  \ (10.5.2)$$

這裡假設 $E=\{1,2,...n\},A \subset E,A \neq \varnothing,T \subset A$。