座標變換後新的基向量如何導出

如果只是要答案，那很簡單，假設位置向量$\bf{X}$，
$x=x(u,v,w)$，$y=y(u,v,w)$，$z=z(u,v,w)$，那麼新座標系$(u,v,w)$的基向量可以取為
$$\mathbf{g}_1=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial u},\ \mathbf{g}_2=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial v}, \ \mathbf{g}_3=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial w}$$這是未標準化的向量，物理上常常要取基向量的長度為1，那就把上述的向量除以各自的長度。

Courant的數學分析的第二卷第一分冊，練習3.6d就是在問如何導出新座標系的基向量，以及在新的基向量之下如何表示梯度。這是很有代表性的問題，因為這些問題通常是物理課本的內容，一般數學書不會提到，所以這本書把它放在練習題。題目如下：

在球座標系 $x=\rho \sin\phi \cos \theta, \ y=\rho\sin\phi\sin\theta, \ z= \rho \cos\phi$中，取三個單位向量$\mathbf{u},\ \mathbf{v}, \ \mathbf{w}$，它們的方向分別是$\rho ,\ \phi, \ \theta$諸線的方向，試証：$$d\mathbf{X}=(dx,dy,dz)=\mathbf{u}d\rho+\mathbf{v}\rho d\phi+\mathbf{w}\rho \sin \phi d\theta \tag{1}$$從而在球座標系中求出$\nabla f(\rho,\phi,\theta)$的表達式，其中 $\nabla f$ 通過$$\nabla f \cdot d\mathbf{X}=df \tag{2}$$來定義。

解答：
假如不要求基向量是單位向量，而是$\mathbf{g}_1,\ \mathbf{g}_2,\ \mathbf{g}_3$就好，那就簡單了。$$(dx,dy,dz)=\mathbf{g}_1 d\rho+\mathbf{g}_2 d\phi+\mathbf{g}_3 d\theta \tag{3}$$，跟原本的Euclid座標形式完全一樣！因為
$$\begin{align*}\mathbf{g}_1&= (\frac{\partial x}{\partial \rho},\frac{\partial y}{\partial \rho},\frac{\partial z}{\partial \rho}) \\
\mathbf{g}_2&= (\frac{\partial x}{\partial \phi},\frac{\partial y}{\partial \phi},\frac{\partial z}{\partial \phi}) \\
\mathbf{g}_3&= (\frac{\partial x}{\partial \theta},\frac{\partial y}{\partial \theta},\frac{\partial z}{\partial \theta}) \\
\end{align*}$$縱向相加之後很明顯就只是$(dx,dy,dz)$的全微分公式而已，而$\mathbf{g}_1$的長度是$1$，$\mathbf{g}_2$的長度是$\rho$，$\mathbf{g}_3$的長度是$\rho\sin\phi$，將它們的長度都化為$1$就是要求的$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$，因此$(1)$式成立。

$(2)$式是散度的一種定義，沒問題。$df$是與座標系無關的。為何呢？書中的解答是說因為微分形式的不變性，這是對的，可是既然都打算詳細的寫在這裡，我們就不厭其煩的展開來看：
$f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))$可以視為$x,y,z$的函數，也能視為$u,v,w$的函數。
$$\begin{align*} df &= f_udu+f_vdv+f_wdw \tag{4} \\
f_u&=f_x\frac{\partial x}{\partial u}+f_y\frac{\partial y}{\partial u}+ f_z\frac{\partial z}{\partial u} \tag{4a}\\
f_v&=f_x\frac{\partial x}{\partial v}+f_y\frac{\partial y}{\partial v}+ f_z\frac{\partial z}{\partial v} \tag{4b} \\
f_w&=f_x\frac{\partial x}{\partial w}+f_y\frac{\partial y}{\partial w}+ f_z\frac{\partial z}{\partial w} \tag{4c}
\end{align*}$$注意到我們又把$(4a),(4b),(4c)$縱向相加又得到$x,y,z$的全微分式！因此$(4a),(4b),(4c)$都代入$(4)$可以得到$$df=f_udu+f_vdv+f_wdw=f_xdx+f_ydy+f_zdz$$，所以$df$與座標系無關。

假如在本題中的新座標系基向量我們用的是$\mathbf{g}_i\ , i=1,2,3$ (下文中 $i$ 都等於$1,2,3$)，那就好辦了。$\nabla f$就是$$\frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{g}_1+\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{g}_2+\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{g}_3$$。因為$\{\mathbf{g}_i\}$彼此正交的關係，上式跟$(3)$內積很容易，等於$df$。現在要求基向量是$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{u}$，這些跟相對應的$\mathbf{g}_i$只差了一個縮放因子，也就是各個$\mathbf{g}_i$的長度而已，這在上面已經算過。因此$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{u}+\frac 1 \rho \frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{v}+\frac 1 {\rho\sin\phi}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{w}$$