小o符號的使用

小o符號在計算函數極限和闡述微分定義時非常的有用。對於極限理論來講，它並沒有帶來新的思想，但是符號的使用非常便利，可以造成思考上的省力效果，對於各種極限運算也可以透過小o，在形式上完全變成代數運算。小o可以說是偷渡"無窮小"的數到標準分析學裏的一個辦法。不用學習非標準分析繁重的邏輯就能夠享受非標準分析的好處。

小o的定義：
$f$ 和 $g$ 是兩個函數，假如在某一極限過程中，$f/g \to 0$ ，就記為$f = o(g)$
，這裏的$=$，實際上是「屬於」的意思。所以$o(g)$代表的是一類的函數，我們不在乎究竟是哪一個函數，只需要知道它是那一類函數，這可以帶來很大的方便。

幾個細節：
1. 我們通常規定 $f = o(x)$ 當中的極限過程是 $x \to 0$，
$f = o((x-a)^b)$ 當中的極限過程是 $ x \to a$，所以在這種場合省略極限過程不寫。

2. $f = o(g)$ 、 $f = o(|g|)$和$|f| = o(|g|)$ 意思完全相同。
例如 $|f| = o(|g|) \iff |f/g| \to 0 $
$\iff \forall \epsilon > 0 ，\exists \delta > 0 \ \  s.t.  ||f/g| - 0| = |f/g| < \epsilon\ \ if \ |x| < \delta$
$\iff f/g \to 0 \iff f = o(g)$
如果我們把 $|\ \ |$ 定義為歐氏空間的norm，小o符號甚至可以用在多元向量函數，
形式完全一樣。

3. $o(1)$ 就是偷渡過來的無窮小。
$f = o(g) \iff f = g*o(1)$
$f \to a \iff f = a + o(1)$，$a$ 為常數。

小o如何使用：
需要加減乘除，冪指函數和複合，和泰勒展式。
泰勒展式等於是微積分的九九乘法，不記起來等於什麼題目也做不出來。

1. $o(x) \pm *\  o(x) = o(x)$

2.  小o出現在分母怎麼辦：
$1/(a+bx+cx^2+o(x^2)) = (a+bx+cx^2+o(x^2))^{-1}$，用二項式定理
化成$(1+x)^{-1}$的形式展開。

3.  小o括弧裏面又有小o怎麼辦 ：
$f=o(g)$，$g$ 是 $h$的同階或更高階的無窮小，則 $f=o(h)$，因為
$f/h = f/g * g/h \to 0 *$ (有界或$0$) $= 0$
例如 $f=o(o((x-a)^2)) \to f=o((x-a)^2)$
$f = o(ax^2 + o(x^2)) \to f=o(x^2)$

4. 小o是指數怎麼辦：
$f^g = e^{g*ln(f)}$，然後按照$e^x = 1+ x + 1/(2!) x^2 + o(x^2)$展開

5. 小o出現在根號裏面怎麼辦：
仿照2.，化成$(1+x)^\alpha $ 用二項式定理展開

6.  小o在超越函數裏面怎麼辦：
用帶小o餘項的泰勒展式展開

小o用法終於講完。比小o更強的還有大O，以後再介紹。有很多高深的數學定理就是用大O寫的。