2017年1月19日 星期四

微分形式的不變性

微分的定義是這樣的
`(1)        df=f'(x)dx`
高階微分的定義
`(1a)      d^nf=f^((n))(x)dx^n`

這個式子的由來是因為我們把`dx`當成固定的,它不是`x`的函數,所以`d(dx)=0`,但是`f'(x)`是`x`的函數,因此
`d^2f=d(df)=d(f'(x)dx)=(f''(x)dx)dx+f'(x)d(dx)=f''(x)dx^2`

那麼微分形式的不變性是什麼意思呢?
假定`x`不是自變數,而是`t`的函數 :`x=varphi(t)`
那麼`df(x)`等於什麼?
我們可以按照定義
`(2)        df(x)=df(varphi(t))=f'(varphi(t))varphi'(t)dt`
或者我們可以這樣作
`(3)        df(x)=f'(x)dx=f'(varphi(t))dvarphi(t)=f'(varphi(t))varphi'(t)dt`
注意,這裡我們只是單純的把 `x=varphi(t)`代入第`(1)`式而已,這樣作居然也對,這就是微分形式的不變性。

 總結來說,我們要對一個複合函數作微分,看成是要作變數變換`x=varphi(t)`,`(2)`的作法是先代入再微分,`(3)`的作法是先微分再代入,「微分」和「代入」的次序是可交換的。但是高階微分就沒有這種性質了。其實不只一階微分,還有其他形式的微分具有微分不變性,比較進階此處暫時不提了。

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