如何記住切空間的公式

當然，在這之前必須對隱函數定理很熟悉，否則就算記住了，你也不知道這公式是在切哪裏。就是說，你看到這種等式 $f(x, y, z) = 0$ ，不用想就知道這是一個曲面，或是說看到這種聯立等式 $f(x, y, z) = 0$ 和 $g(x, y, z) = 0$，不用想就知道這是一條曲線。就跟人家問八乘九等於多少，不需要想就可以回答一樣。

切空間令人困擾的一點就是，曲面有隱式和顯式兩種表達形式，於是就產生一大堆切空間的公式，硬要背的話就是今天背明天忘。

第一步是記住一條微分公式：假如 $f(x, y, z)$ 是實函數，那麼

$$
df =\frac {\partial f}{\partial x} dx + \frac {\partial f}{\partial y} dy + \frac {\partial f}{\partial z} dz \tag{A}
$$

微積分令人困擾的一點就是 $dx$ 這種東西有兩種解釋，一種是無窮小量，另外一種就是 x 的變化量，不見得無窮小。

第二步。空間的曲面或曲線有兩種表達方式

$$f(x, y, z) = 0 \tag{1}$$

這種叫做隱式表達法。高中學過很多，我們學的圓錐曲線基本都是隱式表達法。隱式表達法有時需要多個方程聯立。

$$ \begin{align*}
x &= f(u, v) \\
y &= g(u, v) \\
z &= h(u, v)  \tag{2}
\end{align*}
$$
這種叫顯式表達法，又稱參數式，如果你在高中時就熟知各種圓錐曲線的參數式，你已經是學霸了，這等於是秘奧義，因為課本沒有。

不管哪一種表達法，都對其中的每一條方程按照$(A)$式施行$d$運算。例如$x = f(u, v)$ 會變成 $dx = \frac {\partial f}{\partial u} du + \frac{\partial f}{\partial v} dv$。接下來只是解釋符號的問題。我們把$dx$當成$x$的變化量，當然是從切點開始算的，所以把$dx$改成 $(x - x_0)$ ，$dx, dy$也類推。下標$0$只是代表切點。那$du, dv$是個什麼意思？注意到原本$u, v$就只是參數，不是座標，所以$du, dv$就是任意變化量的意思，可以另外取參數名稱。偏導數當然都是在切點取的(除此之外，它還能在那裏取呢？)

範例：
$(1)$的曲面的切空間是

$$\frac{\partial f}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z} (z - z_0) = 0$$

$d0 = 0$，這應該不用解釋吧。

$(2)$的曲面的切空間是

$$
\begin{align*}
x - x_0 &= \frac{\partial f}{\partial u} \lambda + \frac{\partial f}{\partial v} \mu \\
y - y_0 &= \frac{\partial g}{\partial u} \lambda + \frac{\partial g}{\partial v} \mu \\
z - z_0 &= \frac{\partial h}{\partial u} \lambda + \frac{\partial h}{\partial v} \mu \\
\end{align*}
$$

$\lambda$ ，$\mu$ 是任意常數。

根據線性代數，這切空間是平面。線性代數要學好，否則寸步難行。

更高維也是同樣作法。

其實如果用了幾個比較fancy的名詞，例如kernel或image(是不是好像聽過？)上面的所有步驟可以濃縮成一句話，就不提了。