測度論講義中的引理10.5.1的證明補充說明

書籍是測度論講義 (嚴加安著) 第三版。以下按照書中證明，只是難懂的部份加上補充以及錯誤的地方改正。 要證明的是

$$\sum_{T \subset F \subset A}(-1)^{|F|-|T|} \frac{1}{|F|}=\frac{(|A|-|T|)!(|T|-1)!}{|A|!}\ \ \ \  \ (10.5.2)$$

這裡假設 $E=\{1,2,...n\},A \subset E,A \neq \varnothing,T \subset A$。

其實這是為了導出Shapley值的引理。 記 $|A|=a,|T|=t$。
若 $T=A$，$(10.5.2)$ 的和式只有單項，簡單成立。
若 $T \neq A$，在 $\{F:T \subset F \subset A\}$ 中，有 $\binom{a-t}{k-t}$ 個不同子集F其元素個數等於k。

$$\begin{align*} \sum_{T \subset F \subset A}(-1)^{|F|-|T|}\frac{1}{|F|}  &= \sum_{k=t}^{a}\binom{a-t}{k-t}(-1)^{k-t} \frac{1}{k}=\sum_{j=0}^{a-t} \binom{a-t}{j}(-1)^j \frac{1}{j+t} \\ &=\sum_{j=0}^{a-t}\binom{a-t}{j}(-1)^j \int_0^1 x^{j+t-1}  \, dx \\ &=\int_0^1 \sum_{j=0}^{a-t}\binom{a-t}{j}(-1)^j x^{j+t-1} \, dx\\ &= \int_0^1 \sum_{j=0}^{a-t}\binom{a-t}{j}x^j (-1)^{a-t-j} x^{t-1} (-1)^{t-a+2j} \, dx \\
&\blacktriangleright因為 (-1)^{t-a+2j}=(-1)^{t-a}=(-1)^{a-t}\blacktriangleleft\\
&= \int_0^1 x^{t-1} (-1)^{a-t} \sum_{j=0}^{a-t}\binom{a-t}{j}x^j (-1)^{a-t-j} \, dx\\ &= \int_0^1 x^{t-1} (-1)^{a-t} (x-1)^{a-t}\, dx = \int_0^1 x^{t-1} (1-x)^{a-t}\, dx\\
&\blacktriangleright重複運用分部積分可得\blacktriangleleft\\
&=\frac{(a-t)!(t-1)!}{a!}\ \ \ \square\end{align*}$$