測度論講義中的定理10.5.5的證明補充說明

跟上一篇一樣是出自測度論講義(嚴加安著)第三版，這次書中的證明過程都沒錯了，只是有一個地方很難明白，所以補充說明。
定理如下：

設 $\mu$ 是 $E$ (同上一篇)上的實值集函數，滿足四條公理(Shapley值必須符合的公理)的函數$\phi$是唯一的，等於下式：
$$
\phi_i(\mu)=\sum_{T \subset E}\gamma_n(|T|)[\mu(T)-\mu(T \backslash \{i\})], i=1,\cdots,n \\
\gamma_n(|T|)=\frac{(n-|T|)!(|T|-1)!}{n!}
$$

，接下來直接跳到難懂之處，同時代入上一篇的$(10.5.2)$
$$
\sum_{T \subset E}\ \sum_{T\cup \{i\} \subset R \subset E}(-1)^{|R|-|T|}\frac{1}{|R|}\mu(T)=\sum_{T \subset E, i \in T}\gamma_n(|T|)\mu(T)-\sum_{T \subset E, i\notin T}\gamma_n(|T|+1)\mu(T)
$$
這是因為假設$i\notin T$的話
$$
\sum_{T\cup \{i\} \subset R \subset E}(-1)^{|R|-|T|}\frac{1}{|R|}\mu(T)=
(-1)\sum_{T\cup \{i\} \subset R \subset E}(-1)^{|R|-(|T|+1)}\frac{1}{|R|}\mu(T)
$$
右邊的式子才能代$(10.5.2)$。接著是
$$
\begin{align*}
&\sum_{T \subset E, i \in T}\gamma_n(|T|)\mu(T) - \sum_{T \subset E, i\notin T}\gamma_n(|T|+1)\mu(T) =\\
&\sum_{T \subset E, i \in T}\gamma_n(|T|)\mu(T) +
\sum_{T \subset E, i \notin T}\gamma_n(|T|)\mu(T) -
\sum_{T \subset E, i \notin T}\gamma_n(|T|)\mu(T) - \\
&\sum_{T \subset E, i\notin T}\gamma_n(|T|+1)\mu(T) =\\ \\
&\blacktriangleright因為\sum_{T \subset E, i \notin T}\gamma_n(|T|)\mu(T) =
\sum_{T \subset E, i \notin T}\gamma_n(|T|)\mu(T\backslash \{i\}) \\
&並且\sum_{T \subset E, i\notin T}\gamma_n(|T|+1)\mu(T) =
\sum_{T \subset E, i\in T}\gamma_n(|T|)\mu(T \backslash \{i\}) \\
&仔細思考\{T \subset E, i \notin T\}和\{T \subset E, i \in T\}可知上式為真\blacktriangleleft \\
 \\
&\sum_{T \subset E}\gamma_n(|T|)\mu(T) -
\sum_{T \subset E, i \notin T}\gamma_n(|T|)\mu(T\backslash \{i\}) -
\sum_{T \subset E, i\in T}\gamma_n(|T|)\mu(T \backslash \{i\}) = \\
&\sum_{T \subset E}\gamma_n(|T|)\mu(T) - \sum_{T \subset E}\gamma_n(|T|)\mu(T \backslash \{i\})
\end{align*}
$$
之後便可接到結論。