2017年1月14日 星期六

泰勒多項式的兩種餘項

假設$f(x)$在$[a, b]$連續,在$(a, b)$ $n+1$階可微,帶餘項的泰勒公式是這樣的:
$  f(b) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(a)/(k!) (b-a)^k+f^{(n+1)}(\xi)/((n+1)!)(b-a)^{n+1} $

$f^{(n+1)}(\xi)/((n+1)!)(b-a)^{n+1}$是最常見的餘項,叫做拉格朗日餘項。但是還有令一種餘項叫做積分餘項(還有第三種,暫時不提),這可以直接用分部積分推導,或是從拉格朗日餘項用積分中值公式推導。後一種方法簡單一點。

多加上一個條件,就是$f(x)$在$(a, b)$連續可微,就成立積分餘項
$(1/n!)\int_a^b f^{(n+1)}(x)(b-x)^n \, dx$

注意到$(b-x)$在 $x$ 屬於$[a,b]$時不變號,又發現
$(1/n!)\int_a^b (b-x)^n \, dx= (b-a)^{n+1}/(n+1)!$,
之後套用積分中值公式就知道兩種餘項相等了。

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