2017年1月14日 星期六

泰勒多項式的兩種餘項 (兼測試AsciiMath)

假設f(x)在[a, b]連續,在(a, b) n+1階可微,帶餘項的泰勒公式是這樣的:
` f(b) = sum_(k=1)^n f^((k))(a)/(k!) (b-a)^k+f^((n+1))(xi)/((n+1)!)(b-a)^(n+1) `

`f^((n+1))(xi)/((n+1)!)(b-a)^(n+1)`是最常見的餘項,叫做拉格朗日餘項。但是還有令一種餘項叫做積分餘項(還有第三種,暫時不提),這可以直接用分部積分推導,或是從拉格朗日餘項用積分中值公式推導。後一種方法簡單一點。

多加上一個條件,就是f(x)在(a, b)連續可微,就成立積分餘項
`(1/(n!))int_a^b f^((n+1))(x)(b-x)^n dx`

注意到(b-x)在 x屬於[a,b]時不變號,又發現
`(1/(n!))int_a^b (b-x)^n dx= (b-a)^(n+1)/((n+1)!)`,
之後套用積分中值公式就知道兩種餘項相等了。

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