2017年1月19日 星期四

帶參數積分的微分

$$\frac{d}{dy} \int_{v(y)}^{u(y)} f(x,y) \, dx$$
這式子要如何計算?
$$\begin{align*}  設 \int_v^u f(x,y) \, dx&=I(u,v,y) \\
  dI&=\frac{\partial I}{\partial u} du + \frac{\partial I}{\partial v} dv + \frac{\partial I}{\partial y} dy \\
& =f(u(y),y)u'(y)dy-f(v(y),y)v'(y)dy+ (\int_v^u f'_y(x,y) \, dx)\, dy \frac{dI}{dy} \\
&=f(u(y),y)u'(y)-f(v(y),y)v'(y)+\int_v^u f'_y(x,y)\,dx
\end{align*} $$
證明要比這個麻煩,這樣只是方便記憶。

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