續上篇，用微分形式導出拉普拉斯算符

 符號都沿用上一篇的設定。

首先來看歐氏座標的拉普拉斯算符如何跟微分形式對應。這裡我們需要另一個微分形式的運算，其實它就是說$\ *\ $運算具有分配律而已。$$\ast(\omega_1+\omega_2)={\omega_1}^\ast+{\omega_2}^\ast$$

給定函數$f$，對它施予$d*d$運算，會得到我們想要的結果：
$$\begin{align*}
df&=f_xdx+f_ydy+f_zdz \\
\ast df&= f_xdydz+f_ydzdx+f_zdxdy \\
d\ast df&=\underbrace{(f_{xx}+f_{yy}+f_{zz})}_{\Delta f}dxdydz
\end{align*}$$
於是，根據正確的對應原則：
$$
dx\longleftrightarrow \sigma_1 \\
dy\longleftrightarrow  \sigma_2 \\
dz\longleftrightarrow  \sigma_3
$$
我們得到
$$
\begin{align*}
df&=a\sigma_1+b\sigma_2+c\sigma_3 \\
\ast df&=a\sigma_2\sigma_3+b\sigma_3\sigma_1+c\sigma_1\sigma_2 \\
d\ast df&=\Delta f\sigma_1\sigma_2\sigma_3
\end{align*}
$$
於是，給定$f(u,v,w)$，其中$u,v,w$是正交曲線座標系：
$$
\begin{align*}
df&=f_udu+f_vdv+f_wdw=\frac{f_u}{\lambda_1}\sigma_1+\frac{f_v}{\lambda_2}\sigma_2+\frac{f_w}{\lambda_3}\sigma_3 \\
\ast df&=\frac{f_u}{\lambda_1}\sigma_2\sigma_3+\frac{f_v}{\lambda_2}\sigma_3\sigma_1+\frac{f_w}{\lambda_3}\sigma_1\sigma_2 \\
&=\frac{f_u}{\lambda_1}\lambda_2\lambda_3dvdw+\frac{f_v}{\lambda_2}\lambda_3\lambda_1dwdu+\frac{f_w}{\lambda_3}\lambda_1\lambda_2dudv \\
d\ast df&=\left[\frac{\partial}{\partial u}(\frac{f_u\lambda_2\lambda_3}{\lambda_1})+\frac{\partial}{\partial v}(\frac{f_v\lambda_3\lambda_1}{\lambda_2})+\frac{\partial}{\partial w}(\frac{f_w\lambda_1\lambda_2}{\lambda_3})\right]dudvdw \\
&=\underbrace{\frac 1{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}\left[\frac{\partial}{\partial u}(\frac{f_u\lambda_2\lambda_3}{\lambda_1})+\frac{\partial}{\partial v}(\frac{f_v\lambda_3\lambda_1}{\lambda_2})+\frac{\partial}{\partial w}(\frac{f_w\lambda_1\lambda_2}{\lambda_3})\right]}_{\Delta f}\sigma_1\sigma_2\sigma_3
\end{align*}
$$
這樣就得到了正交曲線座標系的拉普拉斯算符。