用微分形式為什麼可以導出散度，梯度，旋度等等的物理量

在這兩篇：
用微分形式導出正交曲線座標系的散度、梯度、旋度和拉普拉斯算符
續上篇，用微分形式導出拉普拉斯算符
當中，對微分形式作幾次d運算，並且把例如$\sigma_1$和$dx$對位起來，就能得到所需要的各種物理量，這中間完全沒提及物理量的定義，用機械式的方式就算出來了，這是為什麼？

首先補充說明，上述作法實施的時候，要先對位，再對$\ u,v,w\ $做d運算。做完之後再對位，才能得到正確的結果。

本文不打算嚴格證明，只是直觀性的說明為什麼這樣做是對的。

簡單講就是因為Generalized Stokes定理：$\int_{\partial \Sigma} \omega = \int_\Sigma d\omega$，其中$\Sigma$是光滑的可定向流形，$\partial \Sigma$是$\Sigma 的邊界$，$\omega$是微分形式。流形簡單的理解為可參數化的區域就好，光滑的意思就是可以做足夠多次的微分。這個定理根據流形的維數(和配合的微分形式的次數)就是各種物理學上向量分析的散度，梯度，旋度等等的各種積分定理。

至此好像已經感覺到了，例如梯度的積分就是勢函數，勢函數做微分運算就直接得到梯度呀！其他的d運算，配合相應的積分定理，也是一樣的道理！

這樣講還是不對，但是只差一點了。例如，假設$\int_\Sigma f\, dxdydz=\int_\Sigma g\,dudvdw$。那麼在空間中的同一點，$\ f\ $和$\ g\ $的值會一樣嗎？答案是不會，還必須做點設定，得到一個跟座標系無關的量才行。$\int_\Sigma f\, dxdydz=M(\Sigma)$是$\Sigma$區域的質量，$\int_\Sigma \, dxdydz=V(\Sigma)$是$\Sigma$區域的體積，$\ f\ $可以視為單點的密度，也就是$M/V$在$\Sigma$的直徑趨近於無窮小之下的結果。$dxdydz\ $是一個體積元，把$\ u,v,w\ $視為在同樣空間的不同座標系，$dudvdw\ $並不是一個體積元，因此$\,g\,$並非密度。我們必須找出$\ u,v,w\ $座標系下的體積元$dV$，$g\, dudvdw=h\,dV$，這裡的$\,h\,$才是密度，也才等同於$\,f\,$。而這個體積元正是$\ \sigma_1\sigma_2\sigma_3 \ $。

其他的微分形式也是按此方式理解，例如$\,dudv\,$並不是正確的面積元，$\,\sigma_1\sigma_2\,$才是。只有在這樣的條件下，我們才能從Stokes定理得到與座標系無關的密度函數，從而確定各種密度函數是相等的，它們在空間中同一點有相同的值，不因座標系而改變。