續上篇，例題

做一些例題，看上兩篇（1，2）的公式怎麼使用。

球座標系的向量場$A\mathbf{e}_r+B\mathbf{e}_\phi+C\mathbf{e}_\theta$的旋度$A'\mathbf{e}_r+B'\mathbf{e}_\phi+C'\mathbf{e}_\theta$：

這裡使用的移動座標基向量也是慣例上的右手系單位基向量，而球座標本身就是正交的。球座標中
$$
\begin{align*}
\mathbf{x}&=(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi) \\
\lambda_1&=\left| \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial r} \right|=1 \\
\lambda_2&=\left| \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial \phi} \right|=r \\
\lambda_3&=\left| \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial \theta} \right|=r\sin\phi \\
A'&=\frac{1}{r^2\sin\phi}\left[\frac{\partial(Cr\sin\phi)}{\partial \phi}-\frac{\partial(Br)}{\partial\theta}\right] \\
&=\frac{1}{r\sin\phi}\left[\frac{\partial(C\sin\phi)}{\partial \phi}-\frac{\partial B}{\partial\theta}\right] \\
B'&=\frac{1}{r\sin\phi}\left[\frac{\partial A}{\partial \theta}-\frac{\partial(Cr\sin\phi)}{\partial r}\right] \\
&=\frac{1}{r}\left[\frac 1{\sin\phi}\frac{\partial A}{\partial \theta}-\frac{\partial(Cr)}{\partial r}\right] \\
C'&=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial (Br)}{\partial r}-\frac{\partial A}{\partial \phi}\right] \\
\end{align*}
$$